2018年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积(练)

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1、专题5.3平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=________.【答案】-【解析】由题意,得a·b=0⇒x+2(x+1)=0⇒x=-.2.已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________.【答案】3.(2017·镇江期末)已知向量a,b满足a·b=0,

2、a

3、=1,

4、b

5、=2,则

6、a-b

7、=________.【答案】【解析】

8、a-b

9、====.4.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是________(填序号).①

10、a·b

11、≤

12、a

13、

14、b

15、;②

16、a-b

17、≤

18、

19、

20、a

21、-

22、b

23、

24、;③(a+b)2=

25、a+b

26、2;④(a+b)·(a-b)=a2-b2.【答案】②【解析】对于①,由

27、a·b

28、=

29、

30、a

31、

32、b

33、cosa,b

34、≤

35、a

36、

37、b

38、恒成立;对于②,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于③④容易判断恒成立.5.已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则

39、b

40、=________.【答案】【解析】∵a∥b,∴=,解得x=-1,∴b=(-1,2),∴

41、b

42、==.6.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=________.【答案】5【解析】∵四边形

43、ABCD为平行四边形,∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).∴·=2×3+(-1)×1=5.7.已知非零向量a,b满足

44、b

45、=4

46、a

47、,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为________.【答案】【解析】因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2

48、a

49、2,设a与b的夹角为θ,则cosθ===-,又0≤θ≤π,所以θ=.8.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是________.【答案】∪二、解答题9.已知

50、a

51、=4,

52、b

53、=3,(2a-3b)·(2a+

54、b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求

55、a+b

56、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,10.(2017·德州一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.解 (1)由m·n=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cosA=-.因为0

57、sinB===,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1,c=-7舍去,故向量在方向上的投影为

58、

59、cosB=ccosB=1×=.【能力提升】11.(2017·南通、扬州、泰州调研)如图,已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q.若

60、

61、=3,

62、

63、=5,则(+)·(-)的值为________.【答案】-16【解析】(+)·(-)=(2+)·=2·=(+)·(-)=

64、

65、2-

66、

67、2=32-52=-16.12.已知非零向量m,n满足4

68、m

69、=3

70、n

71、,cos〈m,n〉=.

72、若n⊥(tm+n),则实数t的值为________.【答案】-4【解析】∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即t·m·n+n2=0,∴t

73、m

74、

75、n

76、cos〈m,n〉+

77、n

78、2=0,由已知得t×

79、n

80、2×+

81、n

82、2=0,解得t=-4.13.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

83、+3

84、的最小值为________.【答案】514.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).(1)若m=

85、n=,求

86、

87、;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解 (1)∵m=n=,=(1,2),=(2,1),

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