数值流形元法研究进展与展望

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1、数值流行元法研究进展与展望郑宏2013年8月25日，北京汇报提纲1什么是数值流形元法（NMM）2NMM与其他现代数值方法之间的关系3在断裂力学和裂纹扩展中的应用进展线性相关问题，1/r奇异积分处理,扭结型裂纹分析，网格依赖性测试结构化网格的h-适应分析，4在结构力学和渗流力学中的进展5展望多裂纹扩展问题的模拟，三维破裂分析什么是流形流形（manifold）是Rn中的一个子集，是R3中曲线和曲面在高维空间中的推广。这个子集通常难以用单一参数方程组来表达，而必须借助于对子集进行分段采用分段参数方程组

2、来表示。流形例子st•欧式空间或其子集（满足一定条件）•地球•非线性方程组fx;y0所决定的点集（属于RnRm）；其中,f:RnRmRn为向量值函数（秩n）在这个局部区域有参数表示非流形的例子non-manifoldmanifold丘成桐、石根华的工作极其意义•丘成桐与70年代在流形上面引入了微分方程–意义巨大！因为事件大都发生在流形上。但是丘并没有给出如何求解流形上的微分方程。•石根华于1991年提出了数值流形方法。•并不需要太多的数学。NMM的目标NMM的目标是以统一的方式求解连

3、续和非连续问题。物体（求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生大变形甚至破裂有限元覆盖什么是数值流形元法NMM由三部分组成:•覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖•单位分解数学片•NMM空间1.覆盖系统之数学覆盖为了统一求解连续喝非连续问题，NMM引入了两套覆盖：数学覆盖和物理覆盖。数学覆盖由若干个简单形状的区域（片）组成的,,mi=1,…,m。所有这些nim片合在一起覆盖整个区域。数学覆盖定义了插值精度，在布置数学覆i盖时，无需关系区域的具体细节。什么是数值流形元法1.覆盖系统之物理

4、覆盖物理覆盖是由一系列物理片组成的，而物理片是通过将各数学片与区域的组件进行求交运算后得到的。区域组件包括：边界、材料分界线、不连续面，pm等等。表示从数学片生产的第j个物理片。jii奇异片什么是数值流形元法流形单元几个物理片的公共部分被称为一个流形单元，它是能量积分的基本单元什么是数值流形元法2.单位分解假定我们已有了物理覆盖p,对于每个物理片都有一个权k函数wr，它们满足kw12pwkr0,ifrkpww0wr1,ifrk1122kpnwwr

5、1,ifr21kk1被称为从属于p的单位分解。wkrkw13微分几何中的单位分解定理，确保了wrk的存在。w23什么是数值流形元法3.NMM空间与有限元相比，NMM更加关注解在片上的行为在一个不含奇异性的普通片上p，可将解指定为多项式km0xyukPaakakxakyppm0xyVkVkvPbbbxbykkkk而在奇异片上p，用能反映解的奇异特性的函数来构造近似解km12ukPackcos/

6、2cksin/2m12vPbdcos/2dsin/2kkk什么是数值流形元法NMM空间一旦得到了各个物理片上解的表现形式，我们就利用权函数将这些局部形式连接起来构成整个区域上的解的表现形式pnppVwkVkvvvkwk,vkVkk1正是由于数学网格和物理网格的分离，才实现了从连续到非连续、从小变形到大变形的统一求解。任何时候都可以生成物理网格什么是数值流形元法有限元覆盖：数学网格和物理网格原则上，可以采用任何方式来生成数学覆盖，但迄今

7、为止，几乎所有的关于NMM的研究和应用都是基于有限元网格来生成数学覆盖的。在布置数学网格无需使其与区域相匹配。物理网格是数学网格与区域求交和得到的物理片单元展望数学网格星物理网格什么是数值流形元法有限元覆盖：权函数的生成通过组集连接于同一节点的各相关单元的形函数，就得到了有限元覆盖的权函数1权函数NMM与其他现代数值方法之间的关系单位分解法(PUM)，广义有限元（GFEM），扩展有限元(XFEM)，无网格伽辽金法，等等，都是NMM的特例，而且NMM>PUM+XFEM+…•NMM无网格依赖性，但是

8、XFEM有；•NMM能够以统一且更加优雅的方式来求解连续和非连续，小变形和大位移，但是XFEM仅能适用于小变形裂纹扩展的模拟。NMM的唯一问题是难以融合进现有的商用软件，因此有一个开放度很高的公共平台，就显得非常重要。裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法—线性相关问题•对于任何基于单位分解的数值方法，当采用高阶多项式作为局部逼近时，所得到的总纲方程组是线性相关的—一个“钉子”问题Kd=p•通过压制与梯度有关的自由度，可以得到一个变分提法21T121212TvεσdkvdSkv