批量到达的多服务台排队模型求解

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1、第22卷第1期成　都　信　息　工　程　学　院　学　报Vol.22No.12007年2月JOURNALOFCHENGDUUNIVERSITYOFINFORMATIONTECHNOLOGYFeb.2007文章编号:167121742(2007)0120098203批量到达的多服务台排队模型求解丛国超,　朱翼隽(江苏大学,江苏镇江212013)　　摘要:用概率母函数的方法求解了批量到达,多服务台排队模型队长的稳态分布、均值、顾客到达不用等候的概率。最后简述了结论在呼叫中心设计中的应用。关　键　词:排队论;批量到达;多服务台;呼叫中心中图分类号:O226文献标

2、识码:A1　引言[1,3]多服务台问题由于其应用的广泛性而倍受关注,很多排队论的著作中都有多服务台的内容,尤其是在呼[2,5]叫中心的设计方面多服务台排队模型更是必不可少的。但现在呼叫中心的设计多采用单个到达的多服务台模型,而随着呼叫中心应用的越来越广泛,单个到达在实际应用中渐显不足,因此引入了批量到达模式,使得模型更加贴近实际情况。2　模型描述设系统有m个并行的服务台,顾客成批到达,每批到达的人数ξ是一个随机变量,ξ的分布为P{ξ=i}=∞2ai,i=1,2,⋯,∑ai=1,且E(ξ)=a<∞,D(ξ)=σ<∞。批与批之间的到达间隔服从参数为λ的指数

3、分布i=1exp(λ);同一批到达的顾客按随机顺序接受服务,到达顾客若遇系统忙则排队等候,系统中只有一个队列,等待位置无限,到达过程与服务过程是相互独立的。顾客到达若遇服务台空闲则可以立即接受服务,服务时间s服从参数为μ的指数分布。下面是求解模型设t时刻系统内的顾客数为N(t)(包括正在接受服务的和排队等待的顾客),{N(t),tE0}的状态空间为λa{0,1,2,3,4,⋯},设t=0时N(t)=0,可以在ρ=<1的条件下讨论N(t)的稳态分布。mμ∞i设N(t)的稳态分布为p0,p1,p2,p3,⋯。{pn,nE0}的概率母函数为p(x)=∑pix

4、,{an,nE1}的概率母i=0∞m-1ii函数为a(x)=∑aix,(设a0=0),另外,记b(x)=∑(m-i)pix。i=0i=0ξ定理1:M/D/m/∞排队模型的队长的稳态分布的概率母函数p(x)为c(x-1)b(x)p(x)=(1)x-x·a(x)-mc·(1-x)μ其中,c=,常数p0,p1,⋯pm-1满足以下方程组,λipi(1+i·c)=∑pj·ai-j+pi+1(i+1)·c0Fi

5、中,虚线表示由别的状态转到i或者m,其转移率均有下划线,实线表示由状态i或者m转出,其转移率均没有下划线。N(t)的状态转移有如下特点:(1)对于转出,由任意一个状态j出发向右均可一步到达其后的任意一个状态j+1,j+2,j+3,⋯;而向左只能到达其相邻状态j-1。收稿日期:2006206208基金项目:国家自然科学基金资助项目(70571030);江苏省自然科学基金资助项目(BK97047)第1期　　　　　　　　　　　丛国超等:批量到达的多服务台排队模型求解99(2)对于转入,任意一个状态j均可被其左边的任意一个状态0,1,2,⋯,j-1一步到达;而

6、其右边的状态中,只有相邻的状态j+1可以到达j。(3)对于由服务结束引起的由状态j向j-1状态的转移,其转移率据j的取值的不同而依不同的规律变化,以状态m为分界点,对m左边的状态i(0

7、)=∑pj·ai-j+pi+1m·cmFij=0i将方程两边同乘以x然后取和,得m-1∞∞im-1∞iiiii∑pi(1+ic)x+∑pi(1+mc)x=∑∑pj·ai-jx+∑pi+1(i+1)c·x+∑pi+1m·c·xi=0i=mi=0j=0i=0i=mm-1∞∞im∞iiii-1i-1p(x)+c∑ipix+mc∑pix=∑∑pj·ai-jx+c∑ipix+mc∑pixi=0i=mi=0j=0i=1i=m+1mi-1i-1当i=0时,ipix=0,可把∑ipix的求和范围扩大成从0开始;i=1∞i-1m-1i-1当i=m时,ipix=mpmx,

8、可把此项并入后面的mc∑pix,使其求和范围扩大成从m开始;移项,合i=m+1并同类项得:m-