平面向量基本定理应用策略

《平面向量基本定理应用策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、教学2017年3月解法探究参谋谈平面向量基本定理应用的一种策略——更换基底筅湖南省永顺县第一中学石家文平面向量基本定理及其应用是平面向量这一章内由基底表示的唯一性知，+容中最重要的一个知识点，它一直是全国及各省市高考+λ++μ=1，+的重点和热点，其中基底表示的唯一性应用又是一个高++224+解之，得λ=μ=，故λ+μ=.+频考点.笔者在研究这一类问题时，对2009年安徽省第+μ33+λ+=1.++214题（文）提供的解法大为佩服，其原题及提供解法如+筅筅筅筅下：接着笔者又以AB、AC为基底，得如下关

2、系式：在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中筅筅筅筅筅筅筅筅1筅筅筅筅1筅筅1筅筅AE=AC+CE=AC-AB，AF=AC+AB，筅筅筅筅筅筅222点，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=________筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅+筅筅C-1筅A筅B++μ+1筅A筅C+1筅A筅B+解法1：如图1，AC=AB+故AC=λAE+μAF=λA222DE筅A筅D，筅A筅E=筅A筅D+1筅A筅B，A筅筅F=筅A筅B+Cμλ筅筅μ筅筅2F=+-+AB+++λ+AC.①222筅筅AB1筅筅筅筅

3、筅筅AD，图1又AC=0·AB+AC，②2筅筅筅筅筅筅筅筅3筅筅筅筅3筅筅筅筅2筅筅筅筅比较①②，由AB，AC不共线及基底表示的唯一性得AE+AF=（AB+AD）=AC，所以AC=（AE+AF），+223+μλ+-=0，+4++2224故λ+μ=.+解之，得λ=μ=.所以λ+μ=.+3+μ33++λ=1.+筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅+2+解法2：AC+AD=2AE，AC+AB=2AF，两式相加，以上两法，虽不及原来提供的方法简单，但笔者觉筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅得2AC+AD+AB=2AE+

4、2AF.由AD+AB=AC，得3AC=筅筅筅筅得它更具一般性，它实际上是把原来的基底AE，AF换成2筅A筅E+2筅A筅F，于是λ=μ=2，λ+μ=4.筅筅筅筅筅筅筅筅33新的基底AB，AD或AB，AC，既浅显又易懂.下面笔者谈一谈“更换基底”的具体作法.佩服之余：笔者心里觉得无论解法1或解法2，对数式变形、整体代换要求很高，一般学生未必能掌握，能否一、当直接用条件所给基底解决问题困难找出一种更一般的方法呢？笔者对解法1作进一步研究较大时，不妨更换适当新基底时发现：筅筅筅筅筅筅AC=AB+AD，①例1如

5、图2，在四边形ABCDDMC筅筅1筅筅筅筅中，AB//CD，AB=2CD，M，N分别是AE=AB+AD，②N2筅筅筅筅筅筅CD，BC的中点，若AB=λAM+μAN，筅筅筅筅1筅筅AF=AB+AD，③则λ+μ=____.AB2筅筅筅筅图2筅筅筅筅筅筅解：选择AB，AC为基底.把②③代入AC=λAE+μAF，筅筅筅筅筅筅筅筅1筅筅筅筅1筅筅筅筅λ筅筅μ筅筅由题设知，AM=AC+CM=AC+CD=AC-AB，得AC=++μ+AB++λ++AD.④2422筅筅1筅筅1筅筅筅筅筅筅筅筅筅筅AN=AC+AB，由A

6、B，AD不共线可知，AB，AD可作基底，比较①④，22高中版高中版75教学参谋解法探究2017年3月AAAAAA又θ∈［0°，120°］，（θ+30°）∈［30°，150°］，所以AB=λAM+μAMAA1AA1AA1AA故当θ+30°=90°，即θ=60°时，=λAAC-ABA+μAAC+ABA（x+y）max=2.422μλAAMAA例3在平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD==A-AAB+A+λA·AC.①3AAAA2425，cos∠DAC=，AB·AC=120.AAAAAA5又A

7、B=AB+0·AC，②（1）求cos∠BAD；AAAA比较①②，由AB，AC不共线及基底表示的唯一性知，AAAAAA（2）设AC=xAB+yAD，求x+y的值.θθμλθ-=1，这是某市的一道竞赛试题，参考答案中第（2）问用θθθ24484θ解之，得λ=-，μ=.所以λ+μ=.了二次求数量积构造关于x，y的方程组的思想方法，其θθμ555θ+λ=0.解法真叫人拍案叫绝，但笔者认为此法一般难以想到，θθ2θAAAA而条件中给出的基底为AB和AD，它和前几题类似，在此二、普通基底换成单位正交基（坐标法）仍

8、以更换基底的策略解之.解：（1）略.平面向量的有关计算中：坐标运算是同学比较易掌1216（2）由（1）知，cos∠BAC=，cos∠BAD=.握，因此学生一般都喜欢坐标法，故我们时常将向量有1365关的问题转化成坐标运算的问题，其实它本质上就是更563解得sin∠BAC=，sin∠BAD=换基底，将问题中涉及的诸多向量转化成单位正交基底1365表示的向量（即坐标法表示）.AA故以A为原点，AB为x轴，建例2（2009年安徽卷）给定两ByCC立如图5所示的