高考数学一轮复习专题3.8三角函数与其他知识综合运用练习（含解析）

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1、第八讲三角函数与其他知识的综合运用【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一解三角形与三角函数综合【例1】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角。(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围。【答案】见解析【解析】(1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin。因为B为钝角，所以A为锐角，所以＋A∈，则B＝＋A，即B－A＝。(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0，所以A∈。于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝s

2、inA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋。因为00，c>0，所以＋＝1，

3、则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9。2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________。【答案】【解析】因为＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sinBsinAcosB＝(2sinC－sinB)sinBcosA，又sinB≠0，所以sinAcosB＝(2sinC－sinB)cosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，又s

4、inC≠0，所以cosA＝，sinA＝。设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsinA)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤。3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac。(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值。【答案】(1)由余弦定理和已知条件可得cosB＝＝＝，又因为0

5、s。因为0

6、C中，AC=6，BC=3，边AB上一点D满足CD=λ(CA+2CB)，λ>0.(I)证明：CD为△ABC的内角平分线；(Ⅱ)若CD=3，求cosC.【答案】(Ⅰ)见解析.（Ⅱ）cosC=18.【解析】（I）因为cos∠ACD-cos∠BCD=CD⋅CACD⋅CA-CD⋅CBCD⋅CB=λCA+2CB⋅CACDCA-λCA+2CB⋅CBCDCB=λCA2+2CB⋅CA6CD-λCA⋅CB+2CB23CD=λ6CDCA2+2CB⋅CA-2CA⋅CB-4CB2=0所以cos∠ACD=cos∠BCD，又因为0<∠ACD<90°，0<∠BCD<90°，所

7、以∠ACD=∠BCD，所以CD为△ABC的内角平分线.（方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（Ⅱ）△ADC中，ADsinC2=ACsin∠ADC，△BDC中，BDsinC2=BCsin∠BDC，∵sin∠ADC=sin∠BDC，AC=6，BC=3，∴AD=2BD，△BCD中，BD2=9+9-18cosC2，△ACD中，AD2=36+9-36cosC2，∴cosC2=34，cosC=2cos2C2-1=18.考向三三角函数与圆锥曲线【例3】在直角坐标平面内，已知A(-2,0)，B(2,0)以及动点C是ΔAB

8、C的三个顶点，且sinAsinB-2cosC=0，则动点C的轨迹曲线Γ的离心率是（）A．22B．32C．2D．3【答案】A【解析】∵sinAsinB-