高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系通用版

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1、高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系通用版【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1.圆的标准方程：，方程表示圆心为，半径为的圆。2.圆的一般方程：⑴当时，表示圆心为，半径为的圆；⑵当时，表示一个点；⑶当时，它不表示任何图形。3.圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①和的系数相同，都不等于０；②没有这样的二次项。二元二次方程表示圆的充要条件是：①和的系数相等且不为零，即；②没有项，即；③，其中①、②是二元二

2、次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。4.圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，即，并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数。表示圆心为，半径为的圆。5.直线与圆的位置关系：⑴点与圆的位置关系：若圆，那么点在⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判断方法有两种：①代数法：②几何法：圆心到直线的距离为，说明：在

3、求解直线和圆的问题时，要注意运用：①数形结合的数学思想、尽可能运用圆的几何性质，使解法简捷。如在有关直线与圆的位置关系问题，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程。②直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程。求圆的切线方程主要可分为已知斜率或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。③直线与圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题，要注意运用代数定理，引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量。⑶圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系有五种：相离、外切、相交、内切、内含

4、。设两圆圆心分别为，则【解题方法指导】例１.根据下列条件，求圆的方程。⑴和圆相外切于点，且半径为４；⑵经过坐标原点和点，并且圆心在直线上；⑶已知一圆过两点，且在轴上截得的线段长为。解析：⑴设圆心的坐标为，∵⊙与⊙相外切于，∴共线，且，∴．由定比分点坐标公式求得，∴所求圆的方程为⑵显然，所求圆的圆心在的垂直平分线上，的垂直平分线方程为：，即。解方程组，得圆心的坐标为．又∵圆的半径，∴所求圆的方程为。⑶设圆的方程为　　　①将点的坐标分别代入①，得：，令，由①得　　　　②由已知，其中是方程②的两根，∴．解方程组得，故所求圆的方程为评述：无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数

5、，因此，求圆的方程应有三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则用一般式。例2.已知⊙：，点，过作⊙的切线，切点为A、B。⑴求直线的方程；⑵求直线的方程。解析：⑴由已知切线的斜率存在，设切线方程为，即∵，∴解得或，∴直线的方程为和⑵以为直径的圆的方程为，已知⊙：，两式相减便得直线的方程为评述：求过圆外一点的圆的切线时，一般要用点到直线的距离等于圆的半径求解。【考点突破】【考点指要】有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题，历年高考中所占分值为５～12分，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题

6、的能力。考查通常分为三个层次：层次一：考查圆的标准方程、一般方程的求法；层次二：考查直线与圆的三种位置关系；层次三：考查圆的综合问题。解决问题的基本方法和途径有：待定系数法、分类讨论法、等价转化法、数形结合法。【典型例题分析】例3.（2004湖北）已知圆，直线。⑴证明不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；⑵求直线被圆截得的弦长最小时的方程。解析：⑴的方程为．∵，∴，得，即恒过定点。∵圆心，（半径），∴点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。⑵弦长最小值时，，由得的方程为评述：本题利用直线恒经过圆内一点，从而判定直线和圆相交。例4.（2006湖北）已知直线与圆相切，则的值为________

7、____。答案：８或解析：圆可化为，得圆心，半径。又直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于圆的半径１，代入点到直线距离公式得，解得或．评述：本题考查直线和圆的位置关系，切线的几何特征是有垂直关系存在，利用圆心到切线的距离等于圆的半径解决比利用判别式“Δ”求解简单。例5.（2006湖南）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｂ解析：由得，可知圆心，半径，故若使圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，结合图形