圆锥截线方程的投影分析

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1、假想用一个平面去剖切圆锥体，圆锥面与该平面的交线叫做圆锥截线。通常所说的圆锥截线是指它的实际形状，为了分析方便，本文先从圆锥截线的三维正交投影谈起。设圆锥轴线垂直于水平面，圆锥母线的倾角为a,截平面的倾角为B，以圆锥顶点作为坐标原点建立直角坐标系，如上图所示。设截平面的正面投影过任一点Q（“，y）。截平面与圆锥面交线（以下简称截交线）的正面投影为一直线，水平投影和侧面投影就是本文所求。由直线方程的点斜式公式，很容易得出截交线正投影的方程z=ytg/3-（"tg/3-卩）①联系正投影和水平投影，很容易得出辅助圆的方程x2+y2=（盘F②联立式①

2、和式②，消去变量Z可得x2tg2a+y2(tg2a-tg2+2(/ztg/3一>)ytg/3-(/ztg/3->)2=0③式③即为截交线水平投影的方程。联立式①和式②，消去变量y可得x2tg2atg2B+z2(tg2a一tg?/J)+2(//tg^S一”)ztg2a+(“tg0-v)2tg2a=0④式④即为截交线侧面投影的方程。截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的方程和形状也相应不同。需要分别讨论。在讨论之前，有必要明确a和B的取值范围：0

3、式③简化为x2tg2a+y2(tg2a-tg2)=0式④简化为x2tg2a时B+z2(tg2a-tg2/3)=01、B>a时由式⑤可得丄tgay=土ixJtg2^3-tg2a此吋截交线的水平投影为过原点的两条直线（特殊情况B二90。时，图像缩为一条直线y=0）o由式⑥可得Jtg2B-tg2a此时截交线的侧面投影为过原点的两条直线（特殊情况8=90。时，图像反映截交线的实际形状z=±xtga)o2、“a时由式⑤可得x=0,即此时截交线的水平投影为与y轴重合的一条直线。由式⑥可得X二0,即此时截交线的侧面投影为与z轴重合的一条直线。3、/3

4、分别由式⑤和式⑥可得X=0且y=0；X二0且z二0此时截交线的水平投影和侧面投影都只是一个点(即坐标原点)。二、当(“tg/S-卩)工0时，也分下列三种情况讨论1、/3>a时式③可变形为:(„(^tgp-v)tgp(ytg20_tg2a丿X=]⑨Z(

5、itgP-v)tga2/2」ktg2p-tg2a)严…)Jtg2p-tg2a/此时截交线的水平投影是两条双曲线(特殊情况B二90。时，由式③可得y二“，图像缩为一条直线)，其实轴在y轴上，顶点坐标为：tg/3±tga式④可变形为:2(

6、itgp-v)tg2atg2p-tg2a)2/(^

7、tgp-v)tgatgp\tg2p-tg2a丿(^itgp-v)Jtg2p-tg2ay此时截交线的侧面投影是两条双曲线(特殊情况8=90。时，反映其实际形状，此时可由z2x2式④得7^1一丐=1)，其实轴在z轴上，顶点坐标为：(jitgaF子z0=-(UtgB-v)tgatga±tg/3式③可变形为:_(吐沪-V)__tga_x2丫2tga2(

8、itga-v)此吋截交线的水平投影是一条抛物线，其对称轴与y轴重合，顶点坐标为:x°=0;„(Rtga-v)70_2tga式④可变形为:_tg2a2（ptga-v）2（

9、itga-v）2此时截交线

10、的侧面投影是一条抛物线，其对称轴与z轴重合，顶点坐标为:x°=0；3、/3

11、ltgp-v)v,(^tgp-v)tgp2『tg2a-tg2p/_1~—丄tg2a-tg2p丿Jtg2a-tg2p/这是一个椭圆方程，即此时截交线的水平投影为一个椭圆（特殊情况B=o时为一个圆，x2+y2=（—『），椭圆中心坐标为x=0,y=-（鸞卩-：）：竽,两个半轴长度分别tga/tg2a-tg2p斗咼七宀UtgB—v砧七宀（

12、itg0—v）tg（x为：x轴力向〒；y轴力向_o7tg2a-tg2ptg2a-tg2p式④可变形为:(^

13、itgp-v)tg2atg2a-tg2p==iX2L、?I“、?((Rtgp-v)tgatgptg2a-tg2p)RtgP-vJtg2a-tg2p/⑭这是一个椭圆方程，即此时截交线的侧面投影为一个椭圆（特殊情况6=0时为一条直线，z=V），其中心坐标为：X=0,z=_（彎7）警,两个半轴长度分别为；X轴tg2a-tg2p亠rf^tgp-v咼+宀（Utg0—v）tgatg0方I口Jy乎由方冋—_；——OVtg2a-tg2ptg2a-tg2p以上就是圆锥截线的正交投影分析，文中给出了截交线投影的形状和方程。如果需要求岀截交线的空间实际形状，

14、只需将侧面投影方程中的Z替换为三或者将水平投影方sinp程中的y替换为七即可，读者可以自行推导，本文不再赘述cosp