线性代数方阵的特征值与方阵向量

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1、第一节方阵的特征值与特征向量一特征值与特征向量四应用举例三特征值和特征向量的性质二特征值与特征向量的求法一、特征值与特征向量的概念(简化运算)定义Ａ为n阶方阵，λ为数，为n维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ对应于λ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③n阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量　　，特征值问题只针对方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元n次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元n次多项式为Ａ的特征多项式．推论n阶方阵A可逆的充要条件是Ａ的所有特征值非零④n阶不可逆方阵Ａ的必存在零特征值注

2、：特征多项式是关于λ的n次多项式，在复数域范围内一定存在n个根，即n阶方阵A在复数域内必有n个特征值。定理设n阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含n－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中二、特征值与特征向量的求法(1)由求出A的所有特征值定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为n阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的λ值，

3、即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．t重根对应t个相同的特征值(2)将求得的代入方程的非零解，即为对应的特征向量例、求下列方阵的特征值与特征向量线性无关的特征向量（有三个）将代入的非零解，即为对应的特征向量特征值1所对应的特征向量为将代入的非零解，即为对应的特征向量.特征值1所对应的特征向量为特征值2所对应的特征向量为三、特征值和特征向量的性质推论１n阶方阵Ａ可逆Ａ的n个特征值全不为零.若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，特别单位阵Ｅ只有一个特征值为１．对应λ的特征向量，则则　为　的特征值,推论３对应kλ的特征向量则　　为　的特征值,推论４对应

4、A

5、λ-1的特征向量则　

6、为　的特征值，推论５对应的特征向量则推论２对应λ-1的特征向量的特征值，为特征向量的其他性质若数λi为可逆阵的Ａ的特征值，均为对应λi的特征向量则多项式f(λ)必为其对应矩阵多项式f(A)的特征值，若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，对应λ的特征向量，对应f(λ)的特征向量。则任意非零组合均为对应于λi的特征向量.推广：的m个特征向量的非零组合也是其特征向量定理：设是矩阵A的不同特征值所对应的特征向量，则线性无关提示：利用数学归纳法。定理：证明：当m=2时，为对应于的特征向量，即为说明线性无关，令则有同理可得：假设线性无关线性无关，下说明则有定理：将矩阵A的s个不同

7、的特征值所对应的s组各自线性无关的特征向量合并在一起仍是线性无关的。证明：设是A的s个不同的特征值，为对应的一组线性无关的特征向量，即要证线性无关设则其为对应的特征向量，且有则推出矛盾（不同特征值对应的特征向量必线性无关）线性无关定理：设是n阶矩阵A的一个t重特征值，则其对应的特征向量中线性无关的最大个数不超过t.证明：略注：n阶矩阵A所有的线性无关的特征向量的个数不超过n.四、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（　　）２、证n阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（　　）单重特征值所对应

8、的线性无关的特征向量的个数一定为1.