3.4基本不等式(2)

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1、3.4基本不等式第2课时复习旧知：1.重要不等式：2.基本不等式:注意两个不等式的成立条件公式的常见变形形式：以上两个公式是由怎样变形得来的？例课本100页练习3题：用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形的长与宽分别为acm,bcm,a>0,b>0,由题意a+b=10所以,当且仅当a=b=5时取等号答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.由可得出由可得出公式的变形形式可以直接使用引例（1）把36写成两个正数的积，当这两个数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个数取什么值时，它们的积最大？解：

2、（1）设两个数为a,b,则a>0,b>0,ab=36当且仅当a=b=6时和最小.（2）设两个数为a,b,则a>0,b>0,a+b=18当且仅当a=b=9时积最大.那么，对于一般的正数有什么结论？例1已知都是正数，求证：（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；（2)如果和是定值，那么当时，积有最大值.我们把它称为极值定理证：∵(1)当为定值时，∵上式当时取“=”(2)当为定值时，所以当时有简记：积定和最小，，和定积最大∵上式当时取“=”所以当时有说明：用极值定理可求函数的最值，在求函数的最值时应注意：(1)定理的成立条件:只有当都是正数时才

3、成立，即只有当都是正数时，才能应用；但当都是负数时，也可应用.例如：求函数的值域.解：函数的定义域是当时，，当时取等号时，值域为当时，当时取等号时，值域为综上，原函数的值域为⑵求和的最小值，积必为定值，求积的最大值，和必为定值，否则不能用定理.例：若，则为何值时有最小值，最小值为几？解：，就说“最小值为”是错误的，因为不是定值，它会随的变化而变化.若继续：当且仅当，即（舍去）时取等号，，则也错误.代入得解：∵当且仅当正确的解法为：⑶一定要能取到等号.例：求的最小值.若这样解：所以它的最小值为0显然是错误的.正解：令函数在（0，1）为减函数，

4、在上为增函数，上为增函数当t=2时，即x=0时，函数取得最小值为.故在等号成立条件不存在利用极值定理求最大值或最小值时应注意：⑶等号是否能够成立.(2)求积最大值时，应看和是否为定值；求和最小值时，看积是否为定值;简记为一正二定三相等，三者缺一不可！例2证明下列各题：(1)证：⑵若上题改成，结果将如何？(2)解:从而⑶若，则解：若则显然有异号或一个为0则.随堂练习：找找以下做法是否正确，说明理由.错的，给出正确作法.⒈已知（）,求函数的最小值.解：当且仅当即时取等号所以函数的最小值为6.⒉已知，求函数的最小值.解:故最小值为4.3.设为正数

5、，求的最小值.解：所以最小值为8.小结1.极值定理以及用极值定理应注意的三个条件.2.常见的公式变形.3.基本不等式在实际问题中的应用的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.练习：第100页第2，4题作业：课本第100页习题[A]组的第2、4题