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1、(2011*福州)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为0.(1)如图1,连接Al；、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,AFB和ACDE各边匀速运动一周.即点P自A-F-*B-*A停止，点Q自C-D-E-C停止.在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm,abHO),已知A、C、P、Q
2、四点为顶点的四边形是平行式.囹1图2备用囹答案(1)证明：①•・•四边形ABCD是矩形,・・・AD〃BC,・・・ZCAD二ZACB,ZAEF=ZCFE,•・・EF垂直平分AC,垂足为0,.OA=OC,AAAOE^ACOF,・・・0E二01；,・•・四边形AFCE为平行四边形,乂TEF丄AC,・•・四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,在RtAABF中，AB=4cm,由勾股定理得坐+(8-x)2=x2,解得x=5,AF=5cm.(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
3、DI—2VEVC同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，・••以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC二QA,T点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,APC=5t,QA=12-41,A5t=12-4t,解得•••以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,②由题意得，以八、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互札I平行的对应边上.分三种情况：i）如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP二CQ,即a二12・b
4、,得a+b二12；ii）如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ二CP,即12-b=a,得a+b=12；iii）如图3,当P点在AB匕Q点在CD上时，AP二CQ,W12-a=b,得a+b=12.AED解析:我们咋天刚考的，（1）V四边形ABCD是矩形・・・AD〃BC・ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE,・・・EF垂肓•平分AC,垂足为O.e.OA=OC,AAAOE^ACOF（AAS）・・・OE二OF・・・四边形AFCE为平行四边形，又TEF丄AC・・・四边形AFCE为菱形，设AF=CF=x,则BF=（8-x）•・•在RtAABF中，ZB二90。・
5、•・由勾股定理得AAB2+BF2=AF2即AF=5（2）①只有当P点在BF上、Q点在ED±时，才能构成平行四边形・••以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC二QA,•・•点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,・・・PC二5t,QA=12-4t,・・・5t二12・4t,解得t二4/3,・••以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t二4/3秒.②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上.分三种情况：1•当P点在AF上、Q点在CE上时，AP二CQ,即a=12-b
6、,得a+b=12；2.当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ二CP,即12-b=a,得a+b=12；3.当P点在AB上、Q点在CD±时,AP二CQ,即12-a=b,得a+b=12.・••综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab#O).EG二CG,EG丄CG.(2分)证明:延长FE交DC延长线于M,连MG.VZAEM=90°,ZEBC二90°,ZBCM=90°,・•・四边形BEMC是矩形..BE=CM,ZEMC=90<>,乂VBE=EF,AEF=CM.VZEMC=90°,FG二DG,
