专题一(高考中的导数)

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1、专题一：高考函数与导数问题的求解策略(第7周第2个)一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值例］、已知函数f(x)=x2e'aaeR.(1)当日=1时，求两数y=f0,臼<0三种情况求解.【规范解答】⑴因为当$=1时，f{x)=xe~f'(x)=2恥一姪一'=(2x—F)e所以f(—l)=e,f(—1)=—3e.从而y=/V)的图象在点(一

2、1,f(—1))处的切线方程为y—e=_3e(x+l),即y=—3ex—2e.(2)F(%)=2xe—axe=(2x~ax)e~i,x.①当白=0时，若%<0,则尸(方<0,若%>0,则尸(%)>0.所以当日=0时，函数fd)在区间(一8,0)上为减函数，在区间(0,+8)上为增函数.22②当日>0时，

3、-)42x~ax<0,解得/V0或x>_,由2x—a/>0,解得0V/V-.aa29所以当臼>0时，函数Ztv)在区间(一I0),(-,+-).上为减函数，在区间(0,-)aa上为增函数.22③当日

4、V0时，由2x~ax<0,解得一VjtVO,由2x~ax>Q,解得/V-或x>0.aa29所以，当白<0时，函数代方在区间(一8,-)，(0,+s)上为増函数，在区间(-,aa0)上为减函数.综上所述，当日=0时，f(x)在(一°°,0)上单调递减，在(0,+°°)上单调递增；29当日>0时，_f(x)在(一°°,0),(一，+°°)上单调递减，在(0,-)上单调递增；当日V0aa29时，f(x)在(一,0)上单调递减，在(—8,-),(0,+°°)上单调递增.aa【反思启迪】1•本题⑵中尸3=(2

5、/—尸3的符号出2/—臼+确定,从而把问题转化为确定2/—曰F的符号问题.2.判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(方的符号问题上，而尸(0>0或尸(劝<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题.inv-—

6、—k(13分)(2012•山东高考)已知函数f3=—；—(〃为常数，e=2.71828…是自e然对数的底数)，曲线y=f{x)在点(1,A1))处的切线与x轴平行.(1)求&的值；(2)求代劝的单调区间；(3)设g{x)=x尸3,其中f'(%)为/'(x)的导

7、函数，证明：对任意x>0,g(x)0；当久€(1,+8)时，力(方〈0.又e">0,所以当炸(0,1)时，ff(%)>0；当彳丘仃，+8)时，f(0〈0.因此£(方的单调递增区

8、间为(0,1),单调递减区间为仃，+-).8分(3)因为g3=xf3,所以g{x)=(l—x—xlnx),(0,+8).e由(2)知h{x)=—x—x.xx,求导得力'(%)=—In%—2=—(In%—Ine'),所以当”G(0,eV时，h'(^)>0,函数加方单调递增；当+s)时，H(方〈0,函数力(方单调递减・10分所以当(0,+°°)时，/?(x)^/?(e-2)=l+e-2.又当(0,+s)时，0<^

9、拟)设函数心)=岂厂(1)写出定义域及f3的解析式；(2)设臼＞0,讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若对任意%e(0,1),恒有f3＞1成立，求实数日的取值范围.【解】(1)/(方的定义域为(一8,1)U(1,+oo),f3=ax+2—a(1_Q汩—ax(2)①当0V*W2时，尸(方$0,所以f(x)在(一a,1),(1,+s)一上为增函数;②当日>2,由尸(/)>0得ax+2—5>0,x>/.f{x)在(一°°,—),(,1),(1,+8)上为增函数，在(一0—91—)上是减函数.a⑶①当0G

10、W2时,由(1)知,对任意xw(o,1),恒有f{x)>Ao)=1；②当a＞2时,由⑴知,在(0,m——2-—)上是减函数，在(aa2a1)上是了一2-e(0,1),则/UX/(O)=1；③当&W0时,1-4-x1-I-x对任意圧(0,1),恒有口＞1且厂m,得心==厂＞1.综上，当冃仅当耳丘(一2］时，对任意^e(0,1)

11、h有fd)＞1成立.利用导数判断函数的零点个数问题利用导数判断函数的零点个数是近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理，函数的单调性