2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理学案文（含解析）新人教A版

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1、第五节　合情推理与演绎推理2019考纲考题考情1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。②特点：是由特殊到特殊的推理。2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)“三段论”是演绎推理的一般

2、模式①大前提——已知的一般原理。②小前提——所研究的特殊情况。③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。　1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。一、走进教材1．(选修1－2P35A组T4改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为(　　)A．

3、当n≥2时，2n≥n2B．当n≥3时，2n≥n2C．当n≥4时，2n>n2D．当n≥5时，2n>n2解析　当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2nn2；当n＝6时，2n>n2；归纳判断，当n≥5时，2n>n2。故选D。答案　D2．(选修1－2P35A组T6改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。解析　根据类比推理的特点可知：等比数列和等

4、差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则(　　)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析　由于甲不知

5、道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩。故选D。答案　D4．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。解析　由题意得，丙不拿2和3。若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和

6、2，不满足题意。故甲的卡片上的数字是1和3。答案　1和3三、走出误区微提醒：①归纳推理没有找出规律；②类比推理类比规律错误。5．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋≥＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，……类比得，x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________。解析　由已知三个式子知n＝1时，a＝1；n＝2时，a＝22＝4；n＝3时，a＝33＝27，由此归纳可得a＝nn。答案　nn6．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接

7、球体积为V2，则＝________。解析　从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于＝3＝。答案　考点一归纳推理【例1】　(1)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…。若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝(　　)A．8　　　B．9C．10　　　D．11(2)(2019·湖南五市十校联考)图①是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到。图②是第1代“勾股树

8、”，重复图②的作法，得到图③为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为(　　)A．