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时间:2019-09-23
《2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案文(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节 函数与方程2019考纲考题考情1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。2.二分法对于在区间[
2、a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根。2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条
3、件。3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点。一、走进教材1.(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x12345f(x)-4-2147在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点。故选B。答案 B2.(必修1P88例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )A.0 B.1C.2
4、D.3解析 由f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点。故选B。答案 B二、走近高考3.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.- B.C. D.1解析 令f(x)=0,则x2-2x=-a(ex-1+e-x+1),设g(x)=ex-1+e-x+1,则g′(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-=,当g′(x)=0时,x=1,故当x<1时,g′(x)<0,函数g(x)在(-∞,1)上
5、单调递减,当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,函数g(x)取得最小值2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值-1,若-a<0,h(1)=-ag(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)有一个交点,即-a×2=-1⇒a=。故选C。解析:f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-2x+a(e1-x+ex-1)=f(x),所以f(x)的图象关于x=1对称,而f(x)有唯一的零点,则f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=-1+2a=0,解得a
6、=。故选C。答案 C三、走出误区微提醒:①不解方程确定函数零点出错;②不加区分有无区间限定的零点问题致错。4.函数f(x)=x+的零点个数是________。解析 函数的定义域为{x
7、x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点。答案 05.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是________。解析 Δ=k2-4k<0,解得08、象的对称轴方程为x=1。若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-89、数,可得a=0,则g(x)=lnx-2f(x)=lnx-,所以g(2)=ln2-1<0,g(3)=ln3->0,所以g(2)·g(3)<0,可知函数的零点在(2,3
8、象的对称轴方程为x=1。若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-89、数,可得a=0,则g(x)=lnx-2f(x)=lnx-,所以g(2)=ln2-1<0,g(3)=ln3->0,所以g(2)·g(3)<0,可知函数的零点在(2,3
9、数,可得a=0,则g(x)=lnx-2f(x)=lnx-,所以g(2)=ln2-1<0,g(3)=ln3->0,所以g(2)·g(3)<0,可知函数的零点在(2,3
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