2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案理（含解析）新人教A版

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1、第八节　函数与方程2019考纲考题考情1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f

2、(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根。2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。一、走进教材1．(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－21

3、47在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。故选B。答案　B2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0　　　　B．1C．2　　　　D．3解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点。故选B。答案　B二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅲ)

4、已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A．－　　　B.C.　　　D．1解析　令f(x)＝0，则x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，则g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时

5、函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝。故选C。解析：f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，而f(x)有唯一的零点，则f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故选C。答案　C三、走出误区微提醒：①不解方程确定函数零点出错；②不加区分有无区间限定的零点问题致错。4．函数f(x)＝x＋的零点个数是________。解析　函数的定义域为{x

6、x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<

7、0，所以函数没有零点。答案　05．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________。解析　Δ＝k2－4k<0，解得00即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8

8、x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________。解析　(1)由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－，所以g(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3－>0，所以g(2)g(3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。故选C。(2)设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象

9、如图所示。