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《2020版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.基本不等式基础巩固1函数y=3x2+6x2+1的最小值是( )A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：y=3x2+6x2+1=3x2+3+6x2+1-3.∵3x2+3>0,6x2+1>0,∴y≥2(3x2+3)·6x2+1-3=62-3,当且仅当3x2+3=6x2+1时,y取得最小值62-3.答案：D2已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )A.2B.22C.4D.5解析：1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4,当且仅当a=b,ab=1时,等号成立,即a=b=1时,1a+1b+2ab取最小值4.答案：C3
2、若x,y∈R,且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是( )A.339B.1+22C.6D.7解析：3x+27y+1=3x+33y+1≥23x·33y+1=23x+3y+1=2×3+1=7,当且仅当x=3y时,等号成立.故所求最小值为7.答案：D4设a,b是正实数,以下不等式恒成立的序号为( )①ab>2aba+b;②a>
3、a-b
4、-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+2ab>2.A.①③B.①④C.②③D.②④解析：对于①,ab-2aba+b=ab(a+b)-2aba+b=ab(a+b-2ab)a+b=ab(a-b)
5、2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D.答案：D5设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )A.8B.4C.1D.14解析：∵3是3a与3b的等比中项,∴(3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a+1b的最小值为4.答案：B6已知02ab,a2+b2>2a
6、b.∵a2a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.答案：a+b7已知正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy的最小值为 . 解析：由于正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy=1y+8x(x+2y)=10+xy+16yx≥10+2xy·16yx=18,当且仅当x+2y=1,xy=16yx,即x=23,y=16时,等号成立.所以x+8yxy的最小值为18.答案：188已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.分析：(1)注意“1”的代换.(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+
7、cc3+ba+ab+ca+ac+cb+bc.这一步为使用基本不等式创造了条件.证明：1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.9若a>0,b>0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由ab=1a+1b≥2ab,得ab≥2,当且仅当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥2a3b3≥42,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2
8、)由(1)知2a+3b≥26×ab≥43,由于43>6,因此不存在a,b,使得2a+3b=6.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?解:设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,则y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.
9、能力提升1已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解析：(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx≥1+a+2a=(a+1)2,当且仅当yx=a时,等号成立.∵(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.答案：B2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和
10、最小,仓库应建在离车站( )A.5km处B.4km处C.3km处D.2km处解析：设仓库到车站的距离为xkm,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥20.8x·2
