高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版.pptx

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1、2.基本不等式【自主预习】1.重要不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____时,等号成立.≥a=b2.基本不等式(1)定理2:如果a,b>0,那么__________.当且仅当____时,等号成立.a=b(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的积P取得最___值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当____时,它们的和S取得最___值.x=y大x=y小【即时小测】1.已知x>3,则x+的最小值为()A.2B.4C.5D.7【解析】选D.x>3,则当

2、且仅当x=5时等号成立.2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥2(+1)【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy-所以xy-≥1,解得xy≥3+.又xy-(x+y)≤(x+y)2-(x+y),(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2(+1).3.函数f(x)=的值域为_________.【解析】f(x)=答案:【知识探究】探究点基本不等式1.在基本不等式中,为什么要求a>0,b>0?提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有一个为0时

3、,不能称为几何平均,故要求a>0,b>0.2.若f(x)=x+,则f(x)的最小值为2吗?提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小值才是2.【归纳总结】1.理解基本不等式的两个关键点一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的条件是当且仅当a=b时.2.利用求最值的三个条件(1)各项或各因式为正.(2)和或积为定值.(3)各项或各因式能取得相等的值.3.定理1与定理2的不同点定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是a>0,b>0.4.两个不等式定理的常见变形(1)ab≤(2)ab≤(a>0,b>

4、0).(3)≥2(ab>0).(4)(5)a+b≤上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.类型一利用基本不等式求最值【典例】1.(2015·湖南高考)若实数a,b满足,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.42.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.【解题探究】1.如何利用条件?提示:根据可得a>0,b>0,然后借助基本不等式构造关于的不等式.2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件?提示:由x+2y+xy=30,得y=【解析】1.选C.因为,所以a>0,b>0,由所以ab≥2(当且仅当b=2a时

5、取等号),所以ab的最小值为2.2.由x+2y+xy=30,得y=(0

6、最小值.【解题指南】利用x+2y+x·y=30,建立关于x+2y的不等式求最值.【解析】由30=x+2y+xy=x+2y+·x·2y≤x+2y+即(x+2y)2+8(x+2y)-240≥0,(x+2y+20)(x+2y-12)≥0,所以x+2y≥12或x+2y≤-20(舍)故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取得.【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤(1)方法:二看一验证①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对式子变形,凑出需要的定值;②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提

7、取(-1)变为同正;③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.(2)步骤:【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方法利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.【变式训练】1.(2015·山东高考)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_________.【解题指

8、南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.【解析】x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x=所以所求的最小值为.答案:2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利进行,组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为72m2(如图所