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1、一、空间直角坐标系知识诠释 思维发散§9.5 空间直角坐标系与空间几何体1.如图所示,在空间取一点O,以点O为原点作三条互相垂直的且有相同单位长度的数轴,分别称为x轴,y轴,z轴,统称为坐标轴.这三个坐标轴中每两条确定一个平面.分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面,这样的三条坐标轴就组成了空间坐标系.2.在空间坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.在给定的空间直角坐标系中,空间点M与有序数组(x,y,z)建立了一一对应
2、关系,因此,有序数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.4.空间任意两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之间的距离
3、M1M2
4、=.5.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标是(,,).二、立体几何的综合应用1.平行与垂直.2.几何体的表面积和体积.3.三视图与直观图中的平行与垂直.4.球的有关问题.5.立体几何与函数、导数.1.点P(a,b,c
5、)到坐标平面xOy的距离是( )(A). (B)
6、a
7、. (C)
8、b
9、. (D)
10、c
11、.【解析】作PP1⊥xOy平面,则P1(a,b,0),
12、PP1
13、=
14、c
15、为所求.【答案】D核心突围 技能聚合题型1 空间直角坐标系的基本问题例1 (1)在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)关于下列叙述:①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z);②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z);③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z);④点P关于原点对称点的
16、坐标是P4(-x,-y,-z).其中叙述正确的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.(2)已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则
17、AB
18、的最小值是( )(A). (B). (C). (D).【分析】(1)点P的对称点关键要抓住对称平面和对称轴;(2)建立关于含有t的距离表达式.【解析】(1)点P(x,y,z)关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,-z),故①错误;点P(x,y,z)关于yOz平面对称点的坐标
19、是P2(-x,y,z),故②错误;点P(x,y,z)关于y轴对称点的坐标是P3(-x,y,-z),故③错误;点P(x,y,z)关于原点对称点的坐标是P4(-x,-y,-z),故④正确,所以应选A.(2)
20、AB
21、===≥.【答案】(1)A (2)C【点评】(1)点P(x,y,z)关于坐标轴x轴(y轴或z轴)的对称点坐标为x值不变(y值或z值不变),其余两坐标值变为原来的相反数,点P(x,y,z)关于坐标平面yOz(平面xOy或平面xOz)对称点的坐标为x值变为原值的相反数(z值变为原值的相反数或y值变为
22、原值的相反数),其余两坐标值不变.(2)本题体现了学科间的综合问题,最终转化成了求函数的最值问题,特别是二次函数的最值问题在高中数学各章节中的渗透无处不在,应该把二次函数的知识灵活应用.变式训练1 (1)已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为( )(A)(-3,1,5). (B)(2,3,1).(C)(5,13,-3). (D)(,4,-1).(2)若A、B两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ
23、,2sinβ,1),其中α、β∈R,则
24、AB
25、的取值范围是( )(A)[0,5]. (B)[1,5].(C)(1,5). (D)[1,25].【解析】(1)AC的中点与BD的中点重合,AC的中点为(,4,-1),则2×=2+x,2×4=-5+y,2×(-1)=1+z,则点D的坐标为(5,13,-3).(2)
26、AB
27、===.∵cos(α-β)∈[-1,1],∴
28、AB
29、∈[1,5].【答案】(1)C (2)B题型2 空间直角坐标系的应用如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4
30、的等边三角形,平面SAC⊥平面ABC,
31、SA
32、=
33、SC
34、=2,D为线段AB的中点,求证:
35、SA
36、=
37、SD
38、.例2【分析】本题一方面可运用立体几何知识求解,但需要添加一些辅助线;另一方面也可根据图形特征建立空间直角坐标系,将几何证明问题转化为代数计算问题.【解析】取AC的中点为O,连接OS,OB.∵
39、SA
40、=
41、SC
42、,
43、AB
44、=
45、BC
46、,∴AC⊥SO,且AC⊥OB.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=
