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1、3.1空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量的概念三、向量的线性运算四、向量在轴上的投影五、线性运算的几何意义六、向量的模与方向余弦ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ做三条互相垂直的数轴,组成一个空间直角坐标系.坐标原点o坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ一空间直角坐标系三条坐标轴符合右手规则空间的点M有序数组(x,y,z)特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R,坐标面上的点A,B,C,.卦限坐标IⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx＋－－＋＋－－＋y＋＋－－＋＋－－z＋＋＋＋－－－－点的坐标的符号特点例在O-xyz坐标系中表示以下三个
2、点：M1(1,2,3),M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).M1xyzO123.xyzO2-1M2xyzO12-3M33..M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).二、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.以A为起点，B为终点的有向线段.向量的模：向量的大小.单位向量：模为1的向量.零向量：模为0的向量.（模又称为长度或范数）.AB向量的表示：AB
3、
4、AB
5、
6、a自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量三、向量的线性运算1.向量的分量
7、：把向量作平行移动，使其起点与原点重合。设其终点A的坐标为(a1,a2,a3),则称a1,a2,a3为向量的分量或坐标，记为=(a1,a2,a3).OAa1a2a3零向量2.向量的线性运算定义设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),+称为加法，k•称为数乘.加法与数乘统称为线性运算.-=+（-）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k•=(ka1,ka2,ka3).=a1=b1,a2=b2,a3=b3.3.线性运算满足的运算规律(1)+=+;(2)(+
8、)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.例化简解4.基向量与线性表出单位向量称为基向量.=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)称可由线性表出。分向量。xyzO四、向量在轴上的投影1.空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.2.空间一点在轴上的投影3.向量在轴上的投影过空间点A,B作平面与轴u
9、垂直，与轴u相交于A’,B’,向量AB在轴u上的投影定义为AB
10、
11、A’B’
12、
13、,A’B’与u同向-
14、
15、A’B’
16、
17、,A’B’与u反向向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在轴轴与向量的夹角的余弦：证由性质1容易看出：投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；投影为正；（可推广到有限多个）利用勾股定理从图中可得在三个坐标轴上的投影.向量OA的坐标a1,a2,a3分别是OA
18、
19、OA
20、
21、
22、
23、kOA
24、
25、
26、
27、OA
28、
29、解例五、线性运算的几何意义所以，OAPB是平行四边形.则故经平行移动后可与重合.故//同理：xyO
30、PABb2b1a2a1a2+b2a1+b1设1.平行四边形法则是以为边的平行四边形的对角线.平行四边形法则也可表示为三角形法则:2.伸缩变换(1)>0,与同向；(2)=0,(3)<0,与反向.对应坐标成比例例如，即，对应坐标是成比例的注意：再如，对应坐标是成比例的例非零向量单位化.设向量则例证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.证设DE是中位线，DE=DA+AE=BC.=BA+AC=(BA+AC)ABCED例试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.注由勾股定理得六.向量的模与方向余弦1.向量
31、的模空间两点间距离公式平面两点间距离公式空间两点间距离公式中点的坐标：中点的坐标：圆的方程：球面的方程：解原结论成立.解设P点坐标为所求点为2、向量的方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.称为向量的方向余弦.由图示可知a1方向余弦的性质特殊地：解解例小结一、向量的线性运算作业：P101:4,6,8,11二、向量的模和方向余弦三、向量在轴上的投影需要记住的结论对应坐标成比例平行四边形法则三角形法则中点的坐标：解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或
