空间直角坐标系与空间向量典型例题

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1、空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．　　解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1

2、，2）、B（2，4，０），　　∴，．　　设与所成的角为，　　则．（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例2　如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．　　解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，

3、０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．设且，9　　由EA⊥EB1，得，　　即，∴，　　即或（舍去）．故．　　由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量与的夹角．　　因，故，即（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系　　例3　如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．　　（1）证明AB⊥平面VAD；　　（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．　　解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A（1，０

4、，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．　　由，得　　AB⊥VA．又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；　　（2）设E为DV的中点，则9　　∴，，．　　∴，　　∴EB⊥DV．　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．　　∴．故所求二面角的余弦值为．（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系　　例4　已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．　　（1）求∠DEB的余弦值

5、；　　（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．　　解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、　　∴，．　　∴，　　即；（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，所以，即，9∴，∴．这时，即．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考

6、题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到面QAD的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得，．　　所

7、求异面直线所成的角是．（3）由（2）知，点设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则得取x＝1，得．点P到平面QAD的距离．　　点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．9二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若，则①；②；③④（二）例题讲解题型：求角度相关1.异面直线所成的角图1分别在直线上取定向量

8、则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则2.直线与平面所成的角图2在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角.3．二面角图3甲方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则9①若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量图3乙的夹角的补角，即