空间直角坐标系与向量

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1、3.1空间直角坐标系与向量3.1.1.空间直角坐标系3.1.2.向量的概念3.1.3.向量的线性运算3.1.4.向量在轴上的投影3.1.5.方向余弦3.1.1空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.zyxox轴:横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴oxyz符合右手系.oxyzoxyz不符合右手系.Ⅶ空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧyoz面zox面xoy面空间的点M有序数组(x,y,z)特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R,坐标面上的点A,B,C,.向量：既有大小又有方向的量.以A为起点，B为终点的有向线段.向量的模：向量的大小.单位向量：

2、模为1的向量.零向量：模为0的向量.(模又称为长度或范数)AB向量的表示：AB

3、

4、AB

5、

6、a3.1.2向量的概念零向量没有确定的方向.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.自由向量：不考虑起点位置的向量.向量的坐标表示：把向量作平行移动，使其起点与原点重合。设其终点A的坐标为(a1,a2,a3),则称a1,a2,a3为向量的分量或坐标，记为=(a1,a2,a3).OA=a1=b1,a2=b2,a3=b3.设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),向量的模：设A=(a1,a2,a3)利用勾股定理从

7、图中可得

8、

9、OA

10、

11、例非零向量单位化设向量则定义设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),+称为加法，k•称为数乘.加法与数乘统称为线性运算.减法：-=+（-）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k•=(ka1,ka2,ka3).3.1.3向量的线性运算例化简解1.向量加法运算的几何意义——平行四边形法则是以为边的平行四边形的对角线.2.向量减法运算的几何意义3.向量数乘运算的几何意义——伸缩变换

12、

13、kOA

14、

15、

16、

17、OA

18、

19、3.向量数乘运算的几何意义——伸缩变换

20、

21、

22、kOA

23、

24、

25、

26、OA

27、

28、(2)k=0,(3)k<0,与反向.(1)k>0,与同向；例证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.证设DE是中位线，DE=DA+AE=BC.=BA+AC=(BA+AC)ABCED例用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.4.向量线性运算满足的运算规律(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(5)1=;(6)K(l)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.5.基向量与

29、线性表出单位向量称为基向量.=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)称可由线性表出。xyzO6.向量平行(向量共线)解所求向量有两个，一个与同向，一个反向.或3.1.4向量在轴上的投影1.空间一点在轴上的投影2.向量在轴上的投影过空间点A,B作垂直于轴u的平面，与轴u交于’,B’点，于是向量AB在轴u上的投影定义为AB

30、

31、A’B’

32、

33、,A’B’与u同向-

34、

35、A’B’

36、

37、,A’B’与u反向向量OA的坐标a1,a2,a3分别是在三个坐标轴上的投影.OA解例3.空间两向量夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向

38、量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.4.向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在轴向量与轴的夹角的余弦：证投影为负；投影为零；投影为正；(2）5.空间上两点间距离公式特别，若两点分别为解：原结论成立.解设P点坐标为所求点为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.3.1.5方向余弦称为向量的方向余弦.由图示可知a1方向余弦的特征特别，单位向量的方向余弦为解解例