一般二阶椭圆方程的差分方法【文献综述】

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1、毕业设计文献综述数学与应用数学一般二阶椭圆方程的差分方法椭圆型偏微分方程,一类重要的偏微分方程.早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的.八十多年来,椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果.椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用.文献[2]在12.1节中讨论的偏微分方程是被称为Poisson方程的椭圆型方程:在该方程中,假设f描述了在边界为S的平面区域R上的问题的输入.此类型方程起源于不同的与时间无关的物理问题的研究

2、中,如热能在平面区域的稳态发布,平面上某点由于平面内重力作用的势能,有关不可压缩流体的二维稳态问题.二阶椭圆型方程的研究甚早,在50年代以前,对方程的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果.在几十年的发展中,建立了各种解法,例如,绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法,等等.为得到Poisson方程的唯一解,必须施加另外的约束.例如,热能在平面区域的稳态发布要求,得到简化方程.此称为Laplace方程.若区域内的温度由区域边界的温度分布来决定,该约束称为Dirichlet边界条件,即,对区域R的边界

3、S上的所有,有.椭圆型边值问题的求解,只在很特殊情况下才能用解析方法,一般情况下实际有效的途径是数值方法,差分法是其中一类.文献[3]简单的介绍了差分方法及其相关内容,并把它与有限元法进行比较.由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算,所以任何一种用计算机解题的方法,都必须把连续问题(微分方程的边值问题、初值问题等)离散化,最终化成有限形式的线性代数方程组.用差分法和有限元法将连续问题离散化的步骤是,首先对求解区域做网格剖分,用有限个网格节点代替连续区域,然后将微分算子离散化,从而把微分方程的定解问题化为线

4、性代数方程组的求解问题,差分法和有限元法的主要区别是离散化的第二步.前者从定解问题的微分形式或积分形式出发,后者从定解问题的变分形式出发,用Ritz—Galerkin法导出相应的线性代数方程组,但基函数按特定方式选取.差分法的基本问题有:一、对求解域做网格剖分.一维情形是把区间分成一些等距或不等距的小区间,称之为单元.二维情形则把区域分割成为一些均匀或不均匀的矩形,其边与坐标轴平行,也可分割成一些小三角形或凸四边形等.二、构造逼近微分方程定解问题的差分格式一般的构造差分格式的方法:直接差分法,有限体积法和待定

5、系数法.边值条件的逼近法.显然,我们可以构造出许多逼近方程的差分格式,但并非任何格式都是可取的.一个好的差分格式,应该是以尽可能小的工作量(包括程序的准备和计算机的运算)获得所需精度的结果.因此,一方面,差分格式应该结构简单、便于求解;另一方面,应具有尽可能高的逼近阶.因此,还要根据问题的特点,对差分格式提出其他的要求.差分格式的截断误差和相容性当和都趋于零时,若差分格式的截断误差也趋于零,则称差分格式与微分方程是相容的.相容性说明和越小差分方程与微分方程越接近.不相容的格式的解不能作为原微分方程的近似解,因

6、而是无用的.差分格式的收敛性设是求解区域中的一点,取步长与,使,,用差分格式算出.如果当和趋于零时,也趋于零,则可用步长充分小时的作微分方程的解的近似,并称此差分格式是收敛的.差分格式的稳定性用一个差分格式计算时,初值的误差必然要影响到后面的,但希望这误差的影响不要越来越大以致完全歪曲了差分方程的真解,这便是稳定性问题.三、差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性的研究.四、差分方程的解法,包括逐次超松弛法、交替方向法和共轭梯度法.差分法直观、简易、能普遍用于各种类型的微分方程和任意形状的区域.因为它包含巨大的运算

7、量,所以只在电子计算机问世之后,才得到广泛的应用和发展.对于差分方程组的求解,随着差分法的实际应用,产生了在计算机上求解高阶稀疏矩阵问题的种种方法,其中最简单而且常用的是点松弛法.还有各种直接法和其他迭代法.直接法大多是高斯消去法的变形,其中心问题是如何采取适当的消去顺序,使得在不影响解的精度的前提下,尽可能在运算量、存贮量及程序复杂性等方面得到好处或达到某种平衡.在迭代法方面,则还有切比雪夫迭代和共轭斜量法,它们也常作为加速手段与点松弛法结合使用.对于特殊形状区域(如矩形域),则有高效的快速傅里叶变换方法和

8、交替方向法.其中文献[9]就是采用了迭代法对差分方程组进行求解,并有理拟合了解法中的一些参数.特别引人注目的是近年发展起来的多重网格法,其运量可达到O(N)阶.在文献[7]主要讨论的是二阶椭圆型方程的广义差分方法,文章的第一部分对二阶方程采用多重网格构造了几种广义差分格式(五点二次格式、九点双一次格式、九点双二次格式),其中的一些与常用的某些格式一致;文章的第二部分针对其中的一种格式证明了广义差分解