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1、本科毕业论文（20届）一般二阶椭圆方程的差分方法专业：数学与应用数学13摘要差分方法已成为椭圆型方程边值问题求解的主要方法,也是数值计算"学"与"教"的难点之一.差分法首先对求解区域做网格剖分,用有限个网格节点代替连续区域,然后将微分算子离散化,从而把微分方程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题.本文主要通过对差分方法的研究,将其应用于求解二阶椭圆型方程的边值问题,构造出逼近方程的差分格式,分析差分格式解的存在性,从而为差分方法的应用研究提供方便.关键词:椭圆型方程;边值问题;差分格式;差分方法13DifferenceMethodForGeneralEllipticEquations
2、ofSecondOrderAbstractDifferencemethodhasbecometheprimarymethodforsolvingellipticboundaryvalueproblemsandisalsooneofthedifficultiesofnumericalcomputation"learning"and"teaching".First,solvingregionismeshedindifferencemethod,thenfinitegridnodesareadoptedinsteadofcontinuousarea.Then,bydiscretization
3、ofthedifferentialoperator,definitesolutionproblemsofthedifferentialequationsarebroughtintotheproblemsofsolvinglinearalgebraicequations.Inthispaper,usingresearchofdifferencemethod,itisappliedtosolvingboundaryvalueproblemsforsecondorderelliptic,thedifferenceschemeofapproximationequationisconstucte
4、d,existenceofdifferenceschemesisanalysed.Theresultsofthispaperprovideconvenienceforresearchandapplicationofdifferencemethods.Keywords:Ellipticequations;Boundaryvalueproblem;Differencescheme;Differencemethod13目录摘要IABSTRACTII1前言12POISSON方程的差分格式22.1五点差分格式22.2九点差分格式52.3极坐标下的差分格式63POISSON方程的边值问题94小结1
5、3参考文献14致谢15131前言椭圆型方程是一类重要的偏微分方程.早在1900年D.希尔伯特提出的23个著名问题,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的.一百多年来,椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果.椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法等中都有广泛应用.椭圆型方程:被称为Poisson方程.在该方程中,假设描述了在边界为S的平面区域R上的问题的输入.此类型方程起源于不同的与时间无关的物理问题的研究中,如热能在平面区域的稳态分布,平面上某点由于平面内重力作用的势能,有关不可压缩流体的二维稳态问题.在50年代以前,对方程的一些基本边值问题的可解性
6、就获得某些成果.在几十年的发展中,建立了各种解法,例如,绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法,等等.为得到Poisson方程的唯一解,必须施加另外的约束.例如,热能在平面区域的稳态分布时,方程将简化为.此称为Laplace方程.若区域内的温度由区域边界的温度分布来决定,该约束称为Dirichlet边界条件,即对区域R的边界S上的所有,有.椭圆型边值问题的求解,只在很特殊情况下才能用解析方法,一般情况下实际有效的途径是数值方法,差分法是其中一类.由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算,所以任何一种用计算机解题的方法,都必须把连续问题(微分方程的边值问题、初值问题等)离散化
7、,最终化成有限形式的线性代数方程组.用差分法将连续问题离散化的步骤:首先对求解区域做网格剖分,用有限个网格节点代替连续区域,然后将微分算子离散化,从而把微分方程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题.差分方法是解各类数学物理问题的主要数值方法,也是数值计算"学"与"教"的难点之一.本文的目的是通过对差分方法的研究,将其应用于求解二阶椭圆型方程的边值问题中,构造出逼近方程的差分格式,分析差分格式的解的存在性,从而为差分方法的应用研究提供方便.2P
