一般二阶椭圆方程的差分方法【开题报告】

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1、毕业设计开题报告数学与应用数学一般二阶椭圆方程的差分方法一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法,简称差分方法.微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解.在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件.如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件.不含时间而只带边值条件的定解问题,称为边值问题.与时间有关而只带初值条件的定解问题,称为初值问题.同时带有两种定解条件的问题,称为初值边值混合问题.定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算.所以

2、要采用可行的数值解法.由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算,所以任何一种用计算机解题的方法,都必须把连续问题(微分方程的边值问题、初值问题等)离散化,最终化成有限形式的线性代数方程组.有限差分方法就是一种数值解法,它将连续问题离散化的步骤是,首先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解.此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即

3、收敛性),等等.　椭圆型偏微分方程,一类重要的偏微分方程.早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的.八十多年来,椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果.椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用.拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例.许多定常的物理过程,如稳定的热传导过程、牛顿引力理论及电磁理论中的位势、弹性薄膜的平衡、不可压流体的定常运动等,提出形如的方程,称之为拉普拉斯方程,以及泊松方程式中一般有密度的意义.其定解问题为各种边值问题,即要求解在某个区域

4、D内满足微分方程,在边界上满足给定的边界条件.二阶椭圆型方程的研究甚早,在50年代以前,对方程的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果.在几十年的发展中,建立了各种解法,例如,绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法,等等.椭圆型边值问题的求解,只在很特殊情况下才能用解析方法,一般情况下实际有效的途径是数值方法,差分法是其中一类.差分法的思想和做法是,把定解区域剖分为网格,在网格结点上以差商代替微商或用某种插值方式,把微分方程化为包含有限个未知数的差分方程组.差分法直观、简易、能普遍用于各种类型的微分方程和任意形状的区域.因为它包含巨大

5、的运算量,所以只在电子计算机问世之后,才得到广泛的应用和发展.许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关.描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质:若初始时刻t=t0的解已给定,则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件.利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解.对于差分方程组的求解,随着差分法的实际应用,产生了在计算机上求解高阶稀疏矩阵问题的种种方法,其中最简单而且常用的是点松弛法.还有各种直接法和其他迭代法.直接法大多是高斯消去法的变形,其

6、中心问题是如何采取适当的消去顺序,使得在不影响解的精度的前提下,尽可能在运算量、存贮量及程序复杂性等方面得到好处或达到某种平衡.在迭代法方面,则还有切比雪夫迭代和共轭斜量法,它们也常作为加速手段与点松弛法结合使用.对于特殊形状区域(如矩形域),则有高效的快速傅里叶变换方法和交替方向法.特别引人注目的是近年发展起来的多重网格法,其运量可达到O(N)阶.在用差分方法求解时,得构造逼近微分方程定解问题的差分格式.一般的构造差分格式的方法:直接差分法,有限体积法和待定系数法.显然,我们可以构造出许多逼近方程的差分格式,但并非任何格式都是可取的.一个好的

7、差分格式,应该是以尽可能小的工作量(包括程序的准备和计算机的运算)获得所需精度的结果.因此,一方面,差分格式应该结构简单、便于求解;另一方面,应具有尽可能高的逼近阶.因此,还要根据问题的特点,对差分格式有其他的要求.差分格式的相容性当和都趋于零时,若差分格式的截断误差也趋于零,则称差分格式与微分方程是相容的.相容性说明和越小差分方程与微分方程越接近.差分格式的收敛性设是求解区域中的一点,取与使,用差分格式算出.如果当和趋于零时,也趋于零,则可用作微分方程的解的近似,并称此差分格式是收敛的.差分格式的稳定性用一个差分格式计算时,初值的误差必然要影

8、响到后面的,但希望这误差的影响不要越来越大以致完全歪曲了差分方程的真解,这便是稳定性问题.拉克斯等价定理对于线性偏微分方程组的适定的初值问题,一个与之