直线与方程(经典例题)

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1、直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，；当时，；当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两

2、点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。⑤一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常

3、数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；共6页第6页注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式

4、在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例1.已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。解：例2　已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．　（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．图1分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有；当l的倾斜角大于90°时，则有．解：如图1，有分析知＝－1，＝3．∴（1）或．（2）arctan3．说

5、明：容易错误地写成－1k3，原因是或误以为正切函数在上单调递增．共6页第6页例3若三点，，共线，求的值．分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：由、、三点共线，则．∴，解得．说明：由三点共线求其中参数的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求的方法最简便．例4.距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解

6、法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1故点P的坐标为（x，3x＋1）解之得：x＝0∴所求的点为P（0，1）解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为：解由<1>、<2>组成的方程组得：P（0，1）练习:1.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A.B.C.D.2.过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A.B.C.或D.或共6页第6页3.已知直线的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是（）A.A＞BB.A＜BC.D.4.直线的图象只可能是下图中的（）5.直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b

7、，则a、b的值是（）A.B.C.D.6.若直线的倾斜角为且过点（1，0），则直线的方程为________。7.由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点；（2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为。共6页第6页8.设直线的方程为，根据下列条件分别确定实数m的值。（1）在x轴上的截距是；（2）斜率是1。9.过点P（2，1）作直线交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当取最小值时，求直线的方程。10.已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。11.已知点P（-1，1）、Q（2，2），直线与线段PQ相

8、交，求实数k的范围。12．已知中，A(1,3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为和，求各边所在直线方程