高二数学北师大版必修5学案：312不等关系与不等式二含解析

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1、1.2不等关系与不等式(二)【明忖标、知重点】1.学握不等式的冇关性质.2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等式.填要点•记疑点常川的不等式的基木性质称性)；(2)a>b,b>c^>a>c(传递性)；(3)a>b=>a+c>b+c(可加性)；(4)a>b,c>O=>ac>bc；a>b,cacb,c>d^a+c>b+d(6)a>b>0,c>d>0^cic>bd；(7)a>b>0^a>bn(neN+)；(8)Qb>0nf^i>y[b(neN+).探要点•究所然r情境导学]在初中我们学习了不等式的三条性质，事实上，不等

2、式还具有其他一些性质，本节我们一起研究.探究点一不等式的性质思考1初中已经学习过不等式的一•些性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？答⑴不等式的两边同吋加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a>b^a±c>b±c.⑵不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若Qb,c>OWObc,Qb(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若Qb,ch,b>c^a>c；(2)a>b+c>b+c；(3)a>b,c>O

3、^ac>bc.答⑴a>b,b>c^a~b>0,b—c>O^a—b+b—c>O^a~c>O^a>c；(2)(d+c)—(/>+c)=Q_b>0^Q+c>b+c；(3)a>b,c>03q—b>0,c>0^(a—b')c=ac—bc>0^ac>bc.思考3我们把“如果a>b,Rh>c,则g>c”称为不等式的传递性，想一想如何证明？答a>b,b>c3a—b>0,b—c>0O(g—b)+(b—c)>0Oq—c>0今°>c.思考4如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别和加，所得的不等式与原不等式同向”？想一想如何证明表示出的不等式？答如果d>b,c>d,则a+c

4、>h+d.证明如下：因为所以a+c>b+c,又因为c>d,所以b+c>方+d,根据不等式的传递性得a+c>b+d.思考5如果a>h>0,c>d>0,如何证切ac>bd.答证明如F：a>b>0]〕小'=^ac>bc>0c>0f^ac>bd.c>d>ff,c(^bc>bd>0b>0J探究点二利用不等式的性质证明不等式例1利用不等式的性质证明下列问题.⑴当兀>0时，函数尹=/是增加的；⑵若如>0,0Xi>0r由不等式的性质a>b>^an>bn,得£>#.根据函数单调性的概念，尹二，在(°,+8)内

5、是增加的.(2)对于任意的i>j>0,aj-aci'1,©=°孑"心)=⑷产专"=%严,因为0<^<1,由不等式的性质a>h>0^an>bn,有q2<2=,再由不等式的性质a>h>0,c>d>0^ac>bd,有『二(『)严12二1,，严<1,所以a/c/1,｝

6、符号，完成证明・跟踪训练1⑴己知Qb,e>f,c>0,求证：f—acb>Otcb,c>0,所以ac>bc,即-ac<-be.又e>f,即代，所以f-ac・d>0,*.*a>h>0,-c>b・d>0,0<~~,a-cb-d探究点三不等式在生活中的应用例2建筑设计规定，民用住宅的窗户而积必须小于地板而积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越人，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅

7、的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理rti.解设住宅窗户面积和地板面积分别为a.b,同时增加的面积为m.根据问题的要求a»N10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了・反思与感悟一般地，设gM为正实数，且水b,加>0,则有罟>*在这个结论中特别要D+mD注意条件“ab时情况恰好相反・跟踪训练2b克糖水小有。克糖(4/>0),若再添上加克糖(加>0),则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：.a+n^a口弟b+mb解析变甜了

8、，意味着含糖量大了，即浓度高了・探究点四利用不等式的性质判断命题真假例3判断卜-