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1、《数学分析选论》习题选第十章.多元函数微分学1试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1）,；（2）.解(1)注意到,，故两个累次极限均为0，但是,所以重极限不存在.(2)注意到,,故两个累次极限不存在.此外，因为，所以.2设证明:.证明对由于可知当时,便有.故.3设证明：不存在.证明注意到,它随而异，因此不存在.4讨论下列函数的连续性（1）15（2）解（1）注意到，有因此,，即在（0，0）处连续.（2）注意到,故在（0，0）处不连续.5讨论函数在点处的偏导数的存在性.解由定义知：,.6试讨论函数在处的可微性.解.因为,所以,,其中,，由此知在处可微.7设,而,.求,.
2、和解.由于,,,,于是,15..8设是某可微函数的全微分，求的值.解不妨设该可微函数为，则按定义可得，，由此知.从而又得.联系到上面第一式，有或,从而.9设.求,.解这里是以和为自变量的复合函数,它可写成如下形式,,.由复合函数求导法则知.于是,1510设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证对于复合函数，,由于，=+，因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.第十一章.隐函数1设是由方程，求.解方程两边对求偏导，有,因而.方程两边对求偏导，有,因而.故.2设,求.解方程组两边对求偏导得到,因此有，。方程组两边对求偏导得到,因此.153设由方程所确定，
3、试求.解对原方程两端对求导，可得，从而知.4设由方程所确定，试求.解对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即，再对上式两端对求导，得.5证明：方程所确定的隐函数满足.证明对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得，，于是，得到6试求椭球面内接最大长方体的体积.解易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件15下的最值问题。设辅助函数为,,则有.从中可得出唯一解，，。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积7求表面积为,而体积最大的长方体
4、的体积.解设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为.8求空间曲线，，，在点（对应于）处的切线方程和法平面方程.解将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（,15于是得切线方程为法平面方程为=0，即9求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为,即.法线方程为.第十三章.重积分1设是由直线和围成,试求的值.解先对积分后对积分.由分部积分法,知.2设是由矩形区域，围成,试求的值.解由于则3设=,试求的值.15解利用极坐标变换4试用变量代换计算下面的积分（1）,D由
5、围成.（2）,.解（1）令，则D变成，且积分成为（（2）令，则D变成，且原积分成为5设是上的正值连续函数，试证，其中是，.证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此.6计算,其中为由平面,,,,与所围成.解在平面上的投影区域为,于是.7计算,15其中积分区域为，的公共部分.解法1用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中；，于是=.解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有=.8变换为球面坐标计算积分.解积分区域变换为球面坐标为.于是,=.9设函数连续，,其中，，求和.解因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标
6、法比较方便．15.于是,.利用洛必达法则,有.10.求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解曲面方程表示为,,,于是所求面积S=.第十四章.曲线与曲面积分1计算，其中L是摆线的一段（）.解由,,可得,,则=.2计算，其中为以，，，为顶点的正方形封闭围线.解段：直线方程，，.段：直线方程，，.段：直线方程，，15段：直线方程，，于是有，=0.3计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解设，，则原式＝＝.4解答下列问题（1）设是光滑弧上的连续函数，长度记为，则，，(2)设，，则，（3）设是曲线上从到之线段，证明:.解(1)注意到柯西不等式，。（2）由于，，15可知.采用极坐
7、标，可得.由此知,利用题（1），有，（2）因为，所以，。.将曲线用参数式表示，即令，，且取顺时针方向为正，可知.5判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解设，因为,则是某函数的全微分.且.6求,其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有.于是,由格林公式知15=.其中在直线段上,有,,则.因此.7计算下列积分（1），是中的一条简单光滑闭曲线，在上连续可微.（2），是从点到点的直线段,是上的连续函数.解（1）由可知，,其中是所围区域，由格林公式,可得.（2）
