数学分析练习题1.11

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1、练习题1.11February5,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大1.6单单单调调调数数数列列列1.7自自自然然然对对对数数数底底底e1.8基基基本本本列列列1.9确确确界界界原原原理理理1.10有有有限限限覆覆覆盖盖盖定定定理理理1.11上上上下下下极极极限限限1.11.1上上上下下下极极极限限限是是是尾尾尾部部部的的的性性性质质质，，，与与与前前前有有有限限限项项项无无无关关关；；；

2、（（（1）））（（（2）））（（（3）））（（（4）））按按按奇奇奇偶偶偶性性性讨讨讨论论论，，，均均均只只只有有有两两两个个个聚聚聚点点点（（（5）））取取取n=4m+1和和和n=4m+3，，，分分分别别别得得得到到到1（（（6）））只只只有有有两两两个个个极极极限限限点点点{}n211;;1;


1+n222（（（7）））极极极限限限为为为0，，，根根根据据据1.7节节节习习习题题题12结结结论论论1(n!)n1lim=n!1ne1.11.2基基基本本本结结结论论论；；；无无无限限限的的的情情情况况况均均均可可可单单单独独独讨讨讨论论论；；；不不不

3、考考考察察察0
1;11之之之类类类的的的情情情况况况；；；（（（1）））liminfan+liminfbn6liminf(an+bn)6liminfan+limsupbnn!1n!1n!1n!1n!1limsupan+liminfbn6limsup(an+bn)6limsupan+limsupbn(1)n!1n!1n!1n!1n!11¶重点考察有界的情况；“去掉”有限项，只剩下聚点，fan+bng的上下极限只可能由an;bn各自的聚点生成，两端是显然的；中间部分以下极限为例，以a为基础生成fan+bng一个聚点（意思是以形成a的一个子列ak为基础+对应

4、的b项，再用列紧性定理），其结果不会超过a+b，最小的聚点更是不大于a+b；用"N语言叙述即可，k但较繁琐；·利用定理1.16和1.17；写出来也较简洁；对于任何数列的任意项总有记作记作n=infxn=inffxk;xk+1;


g6xk6supfxk;xk+1;


g=supxn=nn>kn>k对于数列fan+bng也有该式，对式子分别取上下极限（由定理1.16和1.17）两端就得到了证明；中间部分以下极限为例，注意a是聚点，于是8">0;9ak

5、

g对此式取下极限，再令"!1，即得证；¸利用定理1.15；命题考察的都是数列尾部的性质；以上半节为例，由定理1.15，a"左边只有有限项，于是当n充分大时，有a"

6、）注注注意意意以以以下下下结结结论论论supfEg=inffEginffEg=supfEg·再由定理1.17，结论是明显的liminf(an)=limsupann!1n!1limsup(an)=liminfan(3)n!1n!12（（（4）））对对对于于于非非非负负负数数数列列列liminfanliminfbn6liminfanbn6liminfanlimsupbnn!1n!1n!1n!1n!1limsupanliminfbn6limsupanbn6limsupanlimsupbn(4)n!1n!1n!1n!1n!1¶聚点的观念·利用定理1.16和

7、1.17¸利用定理1.15完全同上，注意条件是对非负数列，否则如f1;1;1;1;


g与f1;2;1;2;


g（（（5）））若若若非非非负负负数数数列列列bn!b，，，则则则liminfanbn=bliminfann!1n!1limsupanbn=blimsupan(5)n!1n!1À若an也非负，由上题结论立即得证；设法化为非负的情况；一个常用的方法是{an;an>0取cn=0;an<0但应用此式的前提是fag有无限个非负项，即a>0；n对于上极限来说，既然存在无限个非负项，就不必考虑负项的情况，便有limsupan=limsupcnn!1

8、n!1下半节得证；易看出上半节完全对称