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1、精品文档数学分析练习题第十章.多元函数微分学1试论下列函数在指定点的重极限，累次极限x2y2f?22,?；xy?2f?sin11sin,?.xyx?0解注意到limf?0,limf?0，故两个累次极限均为0，但是,y?01111limf?1,limf?0,所以重极限不存在.n??n??nnnn注意到f?0,f?ysin,故两个累次极限不存在.此外，因为n??y?0?
2、f
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7、，所以limf?0.?x2?y2,??xy设f??x2?y2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品
8、文档证明:limf?0.??0,?.?x2?y2121222证明对??0,由于
9、f?0
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11、xy2
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16、,x?y22可知当0?x2?y2???2时,便有
17、f?0
18、??.故?limf?0.x2y设f?证明：limf不存在.?x?y证明注意到?,limmx4m,f?lim?2x?0x41?m它随m而异，因此?limf不存在.讨论下列函数的连续性?sin2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档,?22f??x?y??0,?,??2xy,?22f??x?y?0,??,
19、?解注意到
20、xy
21、?x2?y2，有
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23、?因此,
24、sinxy
25、sinxyxy?
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27、?
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29、xy22
30、xy
31、?limf?0?f，即f在处连续.11nn21nn4,故f在处不连续.在点处的偏导数的存在性.注意到limf?1,2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档limf?n??n???1?ex,?讨论函数f??x2?y2??0,22x2?y2?0x2?y2?0f?f1?ex解由定义知：fx?lim?lim3??1,x?0x?0x?0xfy?limy?03f?f0?lim3?0.y?0
32、yy?0?2?12?x?y,试讨论函数f??e??0,解.因为,fx??lim2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档x?0x2?y2?0,x2?y2?0在处的可微性.2f?f?limx?1e?1/x?0,x?0xfy??limy?02f?f?limy?1e?1/y?0,y?0y?1/?f?e2?y2)?x2?y2?,x2?y2,其中??e?1/x2?y2?e?1/?2??0,??0，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档??由此知f在处可微
33、.2x?y22设z?ln,而u?e,v?x?y.求?z?z,.和dz?x?y?u?v?u?vx?y2x?y2?e?2x,?2ye?1,于是解.由于,,?x?x?y?y2?z?z?u?z?v2???2,?x?u?x?v?xu?v?z?y??z?u?u?y??z?v?v?y?1u?v4uyex?y22.dz??z?z2?xdx??ydy?u2?vdx?1u2?vdy.设dx?ydy2是某可微函数的全微分，求a的值.解2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档不妨设该可微函数为z?f，则
34、按定义可得?zx??x?ay2，?z?y?y2，由此知z??y2?g?ln
35、x?y
36、?xx?y?g.从而又得?z1yx?2?x?x?y?2?g??y2?g?.联系到上面第一式，有x?ay2?x?2y2?g?或g??x?ayx?2ya?22?2?2y,从而a?2.设z?f.求?x2,?x?y.解这里z是以x和y为自变量的复合函数,它可写成如下形式z?f,u?x,v?xy.数求导法则知2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档?z?f?u?f?v?x??u?x??v?x??f?u?1?
37、fy?v.于是?2z??f1?f?2f?u?2f?v1?2f?u?2?x2??x?f?v?u2?x??u?v?x?y[?v?u?x??v2?x]??2f2?2f1?2f?u2?y?u?v?y2?v2,?2z??f1?f?x?y??y由复合函?2f?u?2f?v1?f1?2f?u?2f?v?2???[?]?u?y?u?v?yy2?vy?v?u?y?v2?yx?2fx?2f1?f??2?3?.2y?u?vy?vy?v10设在R上可微函数f满足xfx?+yfy??0，试证：在极坐标系里f只是?的函数.2?，y?rsin?
38、,由于证对于复合函数u?f,x?rcos?u?u?fx?rcos??fy?rsin?=xfx?+yfy??0，?fx?cos??fy?sin?，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创29/29精品文档r?r?r因此当r?0时，?u?0，u?f与r无关，即在极坐标系里f只是?的函数.?r第十一章.隐函数1设z?z是由方程xz?ln，求dz.
