奥数面积讲义

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1、第6講圖形與面積一、直線圖形的面積　　在小學數學中我們學習了幾種簡單圖形的面積計算方法，數學競賽中的面積問題不但具有直觀性，而且變換精巧，妙趣橫生，對開發智力、發展能力非常有益。　　圖形的面積是圖形所占平面部分的大小的度量。它有如下兩條性質：1．兩個可以完全重合的圖形的面積相等；2．圖形被分成若干部分時，各部分面積之和等於圖形的面積。　　對圖形面積的計算，一些主要的面積公式應當熟記。如：　　正方形面積=邊長×邊長；矩形面積=長×寬；平行四邊形面積=底×高；三角形面積=底×高÷2；梯形面積=（上底+下底）×高÷2。　　此外，以下

2、事實也非常有用，它對提高解題速度非常有益。　　1．等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積；　　2．三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積；　　3．平行四邊形的對角線平分它的面積；　　4．等底等高的兩個三角形面積相等。　　解決圖形面積的主要方法有：　　1．觀察圖形，分析圖形，找出圖形中所包含的基本圖形；　　2．對某些圖形，在保持其面積不變的條件下改變其形狀或位置（叫做等積變形）；　　3．作出適當的輔助線，鋪路搭橋，溝通聯繫；　　4．把圖形進行割補（叫做割補法）。　　例1你會用幾種不同的方法把一個三角形的面積平均分成4等份嗎？解：最

3、容易想到的是將△ABC的底邊4等分，如左下圖構成4個小三角形，面積都為原來的三角形面積的。另外，先將三角形△ABC的面積2等分（如右上圖），即取BC的中點D，連接AD，12則S△ABD=S△ADC，然後再將這兩個小三角形分別2等分，分得的4個小三角形各自的面積為原來大三角形面積的。還有許多方法，如下面的三種。請你再想出幾種不同的方法。例2右圖中每個小方格面積都是1cm2，那麼六邊形ABCDEF的面積是多少平方釐米？分析：解決這類問題常用割補法，把圖形分成幾個簡單的容易求出面積的圖形，分別求出面積。也可以求出六邊形外空白處的面積

4、，從總面積中減去空白處的面積，就是六邊形的面積。　　解法1：把六邊形分成6塊：　　△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面積，如用S△ABC表示△ABC的面積。　　　　故六邊形ABCDEF的面積等於6+2+1++4+9=　　說明：當某些圖形的面積不容易直接計算時，可以把這個圖形分成幾個部分，計算各部分的面積，然後相加，也就是說，可以化整為零。　　解法2：先求出大正方形MNRQ的面積為6×6=36（cm2）。　　12　　　　說明：當某些圖形的面積不易直接計算時，可以先求出一個比它更大的圖

5、形的面積，再減去比原圖形多的那些（個）圖形的面積，也就是說，先多算一點，再把多算的部分減去。　　解法3：六邊形面積等於　　S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF=6×2×+（3+6）×4×-3×1×=6+18-1=　　說明：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，從不同的角度去觀察同一個圖形，會對圖形產生不同的認識。一種新的認識的產生往往會伴隨著一種新的解法。做題時多想一想，解法就會多起來，這對鍛煉我們的觀察能力與思考能力大有益處。例3如下圖所示，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是4cm2，△CED的面積是6cm

6、2。問：四邊形ABEF的面積是多少平方釐米？解：如下圖，連結BF。則△BDF與△CFD面積相等，減去共同的部分△DEF，可得△BEF與△CED面積相等，等於6cm2。　　　　四邊形ABEF的面積等於　　　　S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。　　問：兩塊紅色圖形的面積和與兩塊藍色圖形的面積和，哪個大？12分析：只需比較△ACE與△BDF面積的大小。因為△ACE與△BDF的高相等（都是CD），所以只需比較兩個三角形的底AE與BF的大小。　　　　　　　　因

7、為△ACE與△BDF高相等，所以S△ACE＞S△BDF。　　減去中間空白的小四邊形面積，推知兩塊紅色圖形的面積和大於兩塊藍色圖形的面積和。例5在四邊形ABCD中（見左下圖），線段BC長6cm，∠ABC為直角，∠BCD為135°，而且點A到邊CD的垂線段AE的長為12cm，線段ED的長為5cm，求四邊形ABCD的面積。`解：延長AB，DC相交於F（見右上圖），則∠BCF=45°，∠FBC=90°，從而∠BFC=45°。　　因為∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。　　　　在Rt△AEF中，∠AFE=45°，所以∠FAE

8、=90°-45°=45°，從而EF=AE=12（cm）。　　　　故S四邊形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2）。說明：如果一個圖形的面積不易直接求出來，可根據圖形的特徵和題設條件的特點，添補適當的圖形，使它成為一個新的易求出面積的圖形，然後利用新圖形