第七章 多元函数微分学习题

《第七章 多元函数微分学习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章多元函数微分学【内容提要】1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：二次曲面方程：球面方程：圆柱面方程：椭球面方程：椭圆抛物面方程：双曲抛物面方程：单叶双曲面图方程：(a，b，c＞0)双叶双曲面方程：椭圆锥面方程：2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围的每一对值，在变域中存在值，按一定对应法则进行对应，有唯一确定的值，则称为集合上的二元函数，记为称为自变量，称为定义域，称为因变量。的对应值记为，称为函数值，函数值的集合称为

2、值域。多元函数的极限：设函数在开区间（或闭区间）内有定义，是的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作多元函数的连续性：设函数在区域D内有定义，点是D的内点或边界点且。如果则称函数在点处连续。3.多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记作，，，或同理，如果极限存在，则称此极限为函数在点处对y的偏导数，记作，，，或4.二元函数在点的偏导数的几何意义是过

3、曲面上点的曲线在点处的切线对轴的斜率。5．二阶偏导数，，，。如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。6.全微分如果函数在点的全增量可表示为其中A、B不依赖于、而仅与、有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。7.复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数u=j(x,y),v=y(x,y)都在点(x,y)具有

4、对x及y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(x,y)，(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且有8.全微分形式不变性无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性。9.隐函数微分法在点的某邻域内，若函数有连续的偏导数、，且，则在≠0时，方程确定唯一的、有连续导数的函数，满足及。这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即由，两边全微分得，由≠0，得到隐函数的导数为。10.二元函数的极值设函数在点的某个邻域内有定义，

5、如果对于该邻域内任何异于的点，都有（或）则称函数在点有极大值(或极小值)。极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有，设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令则在点处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值。极值的求法：第一步解方程组，求得一切实数解，即可得一切驻点。第二步对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B和C。第三步判断A

6、C-B2的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。11.多元函数的最大值、最小值如果在有界闭区域D上连续，则在D上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。我们假定，函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x，y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。12.

7、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值。一般地，考虑函数在限制条件下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数称为目标函数，考虑的限制条件称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件解出，则条件极值问题可以转化为函数的无条件极值问题。拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数，其中l为某一常数。然后解方程组。由这方程组解出x，y及l，则其中就是所要求的可能的极值点。13.最小二乘法简介变量x、y满足线性方程，其中，a、b需要确定．通过试验测得x、y的n组对应值：(x1，

8、y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到则Q的意义是很明显的，它等于各点离开直线的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q为a、b的函数，求Q