非线性系统的分析

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1、第七章非线性系统的分析★本章主要内容与学习重点★7-1非线性系统的基本概念★7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析★7-3非线性特性的相平面分析★7-4非线性系统的一种线性近似表示—描述函数★7-5典型非线性系统的描述函数★7-6分析非线性系统的谐波平衡法★7-7非线性系统的串、并联及系统的变换★7-8非线性系统的计算机仿真本章主要内容本章介绍了非线性系统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述了如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同时简要介绍了改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。本章重点要求正确理解非线

2、性系统与线性系统的差异，重点掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析，了解非线性系统的特点。7-1非线性系统的基本概念非线性系统的数学描述在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，称此系统为非线性系统。图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。弹簧力的特性如图7-1-1b所示。图7-1-1a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统图7-1-1b)弹簧力的非线性特性考虑到作用于质量m上的全部力，其运动可用下面的非线性微分方程描述：(7-1-1)描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性微分方程

3、，其形式为为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2)的解。通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。图7-1-2非线性系统框图的基本形式式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框图表示。图7-1-3质量、弹簧、阻尼系统的框图当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。非线性特性的分类图7-1-4典型非线性特性1、死区特性如图7-1-4a所示，其数学描述是(7-1-3)死区（不灵敏区）特性的影响增

4、大了系统的稳态误差，降低了定位精度。减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。2、饱和特性如图7-1-4b所示，其数学描述是(7-1-4)饱和特性的影响使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。使系统的快速性和稳态跟踪精度下降3、间隙特性如图7-1-4c所示，其数学描述是(7-1-5)间隙（回环）特性的影响降低了定位精度，增大了系统的静差。使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。4、继电器特性如图7-1-4d所示，其数学描述是(7-1-6)继电器特性的影响理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。可利用继电控制实现快

5、速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如图7-1-5a所示。如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的单值继电器特性，如图7-1-5b所示。图7-1-5几种特殊的继电器特性如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回环的继电器特性，如图7-1-5c所示。非线性系统的特点1、稳定性非线性

6、系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。例7-1-1比较以下两个系统的特征。其一为线性系统，描述其运动的微分方程为另一为非线性系统，其微分方程为解分析比较两者的时间响应。非线性系统的解是非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。图7-1-6非线性系统的时间响应非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线性系统一样，都是在t=0时，随着时间的增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也是稳定系统。线性系统的响应仍与但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散2、系统的自持振荡在非线性系统中，在无外

7、部激励时，发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。例7-1-2范德波尔方程是现分析其响应的特征。解二阶系统的微分方程是：将此方程与范德波尔方程比较可知：图7-1-7非线性系统的自持振荡3、频率响应畸变对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性元件后，其响应发生畸变的情况。图7-1-8间隙特性的正弦响应7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性系统的特征二阶线性

8、系统的微分方程为(7-2-1)(7-2-2)合并以上两式，得到(7-2-3)另一方面，式(7-2-1)的特征方程为(7-2-4)于是特征根为下面分别情况加以分析：分离变量后，对上