非线性系统的分析

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1、第七章非线性系统的分析§7-1非线性系统的基本概念§7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析§7-3非线性系统的相平面分析§7-4非线性系统的一种线性近似表示——描述函数§7-5典型非线性特性的描述函数§7-6分析非线性系统的谐波平衡法§7-8用对数幅相频率特性分析非线性系统非线性控制系统：系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。微分方程中各阶导数是非一次幂一、非线性系统的数学描述在描述系统性能的微分方程中，若包含的C（t）及其各阶导数不是一次幂的二、非线性特性的分类§7-1非线性系统的基本概念输入输出

2、1。死区特性很小时作为线性特性处理（不灵敏区特性）当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。较大时将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性死区或不灵敏区输入输出放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等等。当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。2。饱和特性输入输出输出输入输出输入输出输入3。继电器特性理想继电器具有饱和死区

3、的单值继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性输出输入4。间隙特性齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙输入输出之间具有多值关系间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。无特别说明，间隙特性曲线的斜线的斜率为45度角三、非线性的特点：稳定性：与系统本身的结构、参数和初始状态有关。只有小范围稳定的定义例：线性系统非线性系统：线性系统的解：非线性的解：10当时，非线性系统的响应与线性系统的响应一样，都是收敛的。当时，线性系统的响应收敛，而非线性系统的响应发散。说明：1。线性系统的平

4、衡点只有一个，非线性可以有多个。2。非线性系统的响应以初始状态的不同而有所不同例：范的波尔方程解：二阶线性系统方程是：线性阻尼比非线性阻尼比系统的自持震荡频率响应畸变：输入为正弦信号，输出含有高次谐波信号系统不发生共振不能用迭加原理该阻尼比是与响应有关的变量，当时，等效阻尼比，则系统的响应是发散，当等效阻尼比，则系统的响应是收敛的分析方法：非线性严重、输入信号作用范围大、用于非线性研究非线性理论：描述函数法、相平面法，§7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析一、相平面、相轨迹和平衡点将二阶系统常微分方程写成两个一阶微

5、分方程表示如下：相平面：以横坐标表示X，以纵坐标构成一个直角坐标系，则该坐标平面成为相平面，系统某一时刻的状态可以用相平面上的一个点来描述。相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。相平面法适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。只适用于二阶系统。如果把系统在各种初始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一

6、个相轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。相平面图：相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。清楚的表示系统在各种初始条件下的运动过程。相平面法：用相平面图表示非线性二阶系统过程的方法称相平面法，可分析系统的动态过程。3、平衡点：将微分方程式写成下面的一个形式：则平衡点为：对所有的，当下式成立，状态称为二阶系统在时刻的一个平衡点。特性：在平衡点处的相轨迹满足平衡点可称为奇点二、二阶线性系统的的特征：令：则：从二阶线性系统的特征方程中解出相轨迹的特点：（1）不同的初始状态有不同的相轨迹（2）相轨迹上任意点的斜率唯一（相轨迹不

7、能相交，除平衡点）（3）相轨迹是顺时针方向（1）当时方程为：表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆当不同的，我们得到不同的相轨迹如下图：平衡点的类型即：奇点的类型稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点三、二阶非线性系统的特征将上式在平衡点（0，0）处泰勒级数展开：例：范德波尔方程将上式写成二个一阶方程组：平衡点为：（1）线性化方程为：（2）从（2）式看出：线性化以后的系统其特性与线性系统的特性一样，可是（1）式表示的非线性系统的特性为：当参量，时，等效阻尼系数：则系统的响应是发散的，当，但时，则等效阻尼系

8、数：系统的响应为收敛的。从图中看出，所有从初始状态出发的相轨迹最终趋向平衡点（0，0），而从初始状态出发的相轨迹最终要离开平衡点向外发散。这样在相平面上行成了一个封闭的环——极限环，表示非线性系统响应存在自持震荡，这样的特性只在非线性系统中存在，线性系统无这种特性，但是，不是所有的非线性系统都会存在极限环。说明：极限环的类型稳定极限环：极限环的