矩阵特征值的计算

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1、第七章矩阵特征值的计算数值分析——正交变换与QR算法王伟1主要内容正交变换Sturm序列与二分法QR算法Givens变换Householder变换基本算法具有移位的QR算法2实对称阵特征值的计算通过正交变换，将实对称矩阵约化为三对角阵，利用Sturm定理隔离特征值，最后用二分法求出所需特征值。3Givens变换4引例令005Givens变换定义：称矩阵为Givens变换，或旋转变换。ijij6Givens变换性质(1)只有四个元素与单位矩阵不同(2)正交：(3)如果A是对称阵，则也是对称阵(4)用G左

2、乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值(5)用G右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值7Givens变换定理：设x=(x1,...,xi,...,xj,...,xn)T，且xi,xj不全为零，则存在Givens变换G=G(i,j,)，使得8Givens变换计算步骤(1)构造矩阵。一般地，对第i行Givens变换，构造，其中(2)Givens变换：。经过变换可以把上的元素化为0。通过次变换，可以约化为三对角阵。9例1应用Givens方法把矩阵约化为三对角阵。解：设，令，得，则Givens变换10Give

3、ns变换由，令，得则同理，得11Householder变换12Householder变换1985年，A.S.Householder提出用初等Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三对角阵，只需要（n-2）次变换（Givens方法需要（1/2(n-1)(n-2)）次变换）就能达到简化目的。13Householder变换定义：设且，称矩阵为Householder变换。14Householder变换性质(1)对称：(2)正交：(3)对合：(4)保模：(5)15Householder变换定理：设x,

4、yRn,xy且

5、

6、x

7、

8、2=

9、

10、y

11、

12、2，则存在n阶Householder变换H，使得y=Hx16Householder变换定理：对任意的非零向量xRn，存在Householder变换H，使得Hx=e1其中=sgn(x1)

13、

14、x

15、

16、2,e1=(1,0,...,0)T，的选取是为了防止在实际计算中与x1互相抵消若x1=0,则取=

17、

18、x

19、

20、217Householder变换计算步骤(1)构造矩阵。，其中为k维向量(2)Householder变换。经过变换可以把上的元素化为0。其中通过（n-2

21、）次变换，可以约化为三对角阵。18Householder变换例2对例1中的矩阵，用Householder变换约化为三对角阵。解：，得向量，因此,，得19Householder变换当矩阵比较稠密时，具有更高的效率20Sturm序列与二分法21Sturm序列与二分法设C是n阶对称阵A通过前面两种方法之一，约化为的三对角阵。22Sturm序列与二分法其特征多项式多项式序列是一个Sturm序列。应用Sturm定理，可以求出在内实根的个数和隔离出C的特征值区间，原则上可以用二分法求出全部或者部分特征值。规定23

22、Sturm序列与二分法例3考察矩阵C的特征值分布解：C的特征多项式对应的各阶主子式：构成一个Sterm序列。24Sturm序列与二分法考察当时，多项式序列的変号数+-+-+4+0-0+2+++++0+++++0由表可知，在内有两个特征值，在（-2,0）内有两个特征值，在没有特征值。然后用二分法可以求得所需精度的特征值。25一般矩阵特征值的计算对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代，它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的元素近似为矩阵的特征值。26QR算法27QR算法定理：设矩阵A是n阶非奇异实矩阵，则存在正交

23、分解A=QR其中Q是正交矩阵，R是非奇异上三角矩阵。若限定R的对角线元素为正数，则此分解唯一。28QR算法设(j=1,...,n)(1)构造H1使得H1a1=1e1，令(2)构造使得，令QR分解29QR算法以此类推，经过n-1步，可得Householder矩阵H1,H2,...,Hn-1，使得令，即得30QR算法例4用Householder变换计算的QR分解。解：设，则31QR算法同理，构造32QR算法基本算法设为n阶实矩阵，对A进行QR分解，,再令即完成一次迭代。一般地迭代式，由此得到矩阵序列。收

24、敛于上三角矩阵（或分块上三角矩阵），从而可以求出A的全部特征值与特征向量。其中k=1,2,3,...每一次迭代计算量较大，常常先把实矩阵A用Househouder法约化为拟上三角阵。33QR算法定理：设，进行QR分解并迭代记,则有（1）相似于A；（2）的QR分解为。34QR算法具有移位的QR算法设A为n阶实矩阵，令，取适当的数对矩阵作QR分解令，这样完成一次迭代。一般地，可以证明与相似，中所有的矩阵具有相同的特征值集。35QR算法（1）设A经相似变换后已