解题-浅谈1在求最值问题中的应用-李权兴文库

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1、浅谈“1”在求最小值中的妙用【摘要】在数学中“1”是一个很神奇的数字，它既简单乂复杂，说它简单是从形式上看它很简单，说它复杂是因为它在数学屮的变化很复杂。在解决有关的数学问题时，对隐藏着的一个“1”，作出合理的数学变形会给我们解决问题带来极大的方便，往往能起到事半功倍的效果。在不等式求最小值中，常数“1”的魅力非常的大，通过“1”的中介，巧妙的结合基本不等式，可以避免误区，求得最小值。发现这些问题中的1的转换其实并不复杂，关键是如何把“1”转化为与问题相关的数学式。下面我们就“1”在这些问题屮的应用举例说明。【关键词不等式；最小值；应用一

2、、“1”在整体中的应用例1已知m＞0,7?＞0且加+斤=1,求丄+?的最小值。mn分析因为要求丄+?的最小值，有的同学可能会得到下面的解法mn因为加〉0丿＞0,加+〃=1,所以/(m+riy1mn<=—44丄+->2J—>2736=12mnVmn所以丄+少的最小值是12mn我们不难发现，这种解法是错误的，因为没有注意到应用基本不等式时等号成立的条件，即因为财豪时，当心屛寸，取得等号；又因为丄+殳2、巨取到等号4mnVtnn时丄二？既n=9m;出现加=刃与刃=9加的才盾。其实应该用"1”整体mn代换，即丄+2=ix（丄+2）,然后再进行化简

3、应用基本不等式求最小值。mnmn解因为加＞°，兀＞0,加+斤=1所以丄+-=1x（丄+?）mnmn=(m+/?)(——F—)mn,9mn门=1+——+—+9nm“9mn=10+——+—nm、10+2怦三16Vnm当且仅当时，既/7=3m时取到等号，nm因为加+72=1,所以m+3m=19即m=—,n=—时,丄+?的最小值是1644mn二、把分子换成“1”分析已矢口血>0,斤〉0且血+斤=1,求〔+丄11n丿例2的最小值。的最小值,r1)i+—i+-1mJ此题要求有的同学可能想到直接用基本不等式，于是得到下面的解法因为m>0,H>0,+/7

4、=1,所以m+/?>1mn<—4仔细分析，你会发现这种解法是错误的，因为没有注意到应用基本不又因为1+丄〕Im丿1〃丿既心吨取到等号,>4等式时等号成立的条件，即因为mn<—时,4时，当丄=1,丄=1,既m=yn=时取到等号，与m>0,n>0,m+/?=1矛盾。mn其实我们应该考虑把分了中的1换成加+斤，化简变形后应用基本不等式，这样只需耍应用一次基本不等式，那么就不会出现上血的误区。角军因为加〉0，n>°，加+〃=1,所以(1+丄)(1+丄)mn(1+哼n/tm+n=1+I加丿=(2+—)(2+—)mn.2m2n=4+——+—nm

5、l小12m匕人c>5+2=5+4=9Vnm当且仅当—,既加丄时,nm21m丿1nJ的最小值是9三、在待求式屮应用“1”m22例3若00,求-^―+―的最小值。2-xx22分析求乩+ZL的最小值，有的同学可能发现这个式子是a+b这种2-xx形式的，则可以直接应用a+h>2^b.于是有下面的解法囚为0<兀<2,mn>0缶［、im2m2/?22mn、2mn.所以+一>21=.>——-——=2mn2-xxx(2-x)Jx(2-x)x+2-x2实际上，这种解法是错误的，因为没有注意到应用基本不等式时等号成立的条件，GP要使上L+

6、尤匡匚取到等号，所以-^-=-既时；但2-xxx(2-x)2-xxmm由屁二讥廿匕时取到等号，所以x=2-x既"1时取到等号；所以"車V与兀=1不能同时取到等号。其实，我们应该考虑先把待求式化简变形，巧妙的用“1",因加宁，所以不妨『4乘待求式，得到(99nryt+i2—x兀八rrrx2?rr(l-x)+in+lx22-x此时再应用基木不等式，问题将迎刃而解。解因为00，所以n厶zrr、/x+2一x、+一=(+一)()2-xx2-xx21m2x22n2(2-x)=+叶+n+2[2-xx>—(m2+n2+2mn)=—(m+

7、n)222当且仅当心川27时，即兀22-xx的最小值是^-(m+n)2四、先乘方，再代换“1”4m229nr+斤~n2时m+n9nH2-xxm2例4已知兀〉0,y〉0,且4x2+)，1,求？+色的最小值。%y分析因为用1=仃+天直接代入2+3求解，贝IJ得%y(4”+),)=8兀+工+更+3八所以求不出最小值，而是先将2+丄yxxy平方，再用l=4x2+y2代入求出、2的最小值，进而才能求出2+色*y的最小值。解因为x>0,y>0所以,24x24x4y——++—yy%=25+18V6+12V3624x24兀4y2当口仅当y=V6x时等号成

8、立。所以-+-的最小值是725+18^6+12^36。五、先构造，再代换“1”例5已知0＜兀＜丄,w（0,+8）,求y=—+—一的最小值。2*x-2x分析此题先通分很难求出最小值，但由分式的