问题7.1多面体与球的组合体问题-2017届高三数学跨越一本线含解析

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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题一：多面体与球的组合体问题纵观近儿年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答•从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题冃.分析原因，除了这类题冃的入手确实不易之外，主耍是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产牛畏惧心理•本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，

2、以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示,正方体ABCD-A^QD.，设正方体的棱长为，E,F,H,G为棱的屮点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则OJ=/=-；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则2&GO=R=^-a；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACA.C,和其外接圆，则=Rf=^-a.通过这三种类型可以发

3、现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个儿何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.【例1】棱长为1的正方体ABCD_AbCQ的8个顶点都在球。的表面上，E,F分别是棱马，的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）B.C.D.V2【分析】本题求解关键是得出直线EF被球0截得的线段为球的截血圆的直径【解析】由题意可知,球为正方体的外接球•平血截血所得圆血的半径•・・EFu面*£>9,・・・直线EF被球O截得的

4、线段为球的截面圆的直径2R=y/2.【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体ABCD-A]B]C]D],球与该正方体的各个面相切，则平面ACB】截此球所得的截面的面积为（）8n5n4n2nA.3B.3C.3D.3【答案】D【解析】因为球与各面相切，所以直径为2,且ACAB],CB]的中点在所求的切面圆上，所以所求截&2n_R=-_$=面为此三点构成的边长为农正三角形的外接圆，由正弦定理知3,所以面积3,选d.1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存

5、在外切球.但是不一定存在内切球•设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为•当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正1/2.l2,2方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R=-=7.22【例2]在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）10兀8兀7兀A.—B.4JiC.—0.—【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程屮，进过部分的儿何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球，故

6、小球经过空间Ftl上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球，三部分的体积为：—x13x-x2+

7、柱ABC-A^C,的高为/z,底面边长为，如图2所示，D和D,分别为上下底面的中心•根据几何体的特点，球心必落在高的中点h/3。，込訐。"4亍借助直角三角形阿的勾股定理，可求【例3］已知直三棱柱ABC—AM的6个顶点都在球0的球面上，若AB=3,AC=4,M丄也洌=12,则球。的半径为（）A.B.2^10C・¥D.3^/10【分析】先确定球心位置,再利用RSd2确定球的半径【解析】如图所示，由球心作平面力虑的垂线，151则垂足为％的中点胚又aif=~M=6f所以球0的半径R=OA=【点评】直棱柱的外

8、接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.【小试牛刀】直三棱柱的六个顶点都在球0的球面上，若AB=BC=tZABC=2044严2希，则球0的表面积为（）A.4兀B.8龙C.16龙D.24龙【答案】C【解析】在AB=BC=lyZABC=120S余弦定有AC=^,A三棱柱外接球的球卜。位于上下底外心连线的中点。上处AOCB「中，仝^=2厂即〜匕所叹sin120°/=OCP+r2=（少尸+1=4,球的表面积S=4衣2=16兀・二、球与锥体的组合体规则的锥体,如正四而