专题多面体与球的组合体问题

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1、专题多面体与球的组合体问题综述21.球与柱体的组合体21.1球与正方体21.2球与长方体31.3球与正棱柱42球与锥体的组合体52.1球与正四面体52.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥52.3球与正棱锥62.4球与其他棱锥73球与球的组合体84球与几何体的各条棱相切95与三视图相结合的组合体问题9多面体与球的组合体15/15综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1）一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A．将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B．利用外

2、接球的球心的特点（到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径；（2）内切球也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，此类问题出现较少。1.球与柱体的组合体1.1球与正方体如图1所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合

3、问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．B．C．D．解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径多面体与球的组合体15/15直线被球截得的线段为球的截面圆的直径.【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】体积最

4、大的球是其内切球，即球半径为1，所以表面积为.1.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在内切球（只有为正方体时才有）.设长方体的棱长为其体对角线为，则，外接球的半径例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.B.4πC.D.解：该球正好与长方体内切，它的运动轨迹是上下各半个小球，和一个高为2的圆柱，则体积为1.3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。设正三棱柱的高为底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高的中

5、点，借助直角三角形的勾股定理，可求.例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.多面体与球的组合体15/15【牛刀小试】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．2球与锥体的组合体2.1球与正四面体正四面体，即所有棱长均相等的三棱锥，它既存在外接球，也存在内切球，两心合一。外接球的半径为，内切球的半径为，二者是4:1的关系，可以用体积来证明。例（2005全国卷2）将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.

6、B.2+C.4+D.[来源:学&科&网]多面体与球的组合体15/15解：四个小球放在正四面体中，每个角内一个，且小球在角内与汇于此角的三个面相切，4个小球同时在中部互相相切。把四个小球的圆心连起来，得到一个小的正四面体，这个小正四面体的是2，则这个小正四面体的高为。小正四面体和原来正四面体的中心是重合的，中心到小四面体各面的距离为,那么中心到原来正四面体各面的距离应为，所以原正四面体的高为2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥三条侧棱互相垂直的三棱锥，可以补为长（正）方体，因此也就转化为前面提到的问题。例5在正三

7、棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是.解：正三棱锥本身有一个特点：对棱互相垂直。本题中，AC⊥SB，又SB∥MN，由已知得AM⊥SB，于是SB⊥平面SAC，从而SA⊥SC，也即此三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度相等，将其补为正方体，易得外接球半径为3，表面积为36π。【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．B．C．D．答案C解析：补为长方体，外接球半径为，故选C.2.3球与正棱锥多面体与球的组

8、合体15/15此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.例已知正四棱锥的底边和侧棱长均为，则该正四棱锥的外接球的表面积为.例在正三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．　B.　C.4　D.变式1：已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面A