多面体与球的组合体问题.doc

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1、专题多面体与球的组合体问题综述21.球与柱体的组合体21.1球与正方体21.2球与长方体31.3球与正棱柱32球与锥体的组合体32.1球与正四面体32.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥42.4球与其他棱锥43三视图相结合的组合体问题54.球的截面问题6专项训练题球与几何体的组合体问题6多面体与球的组合体7/7综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1）外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A．将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B．利用外接球的球心的特点（到几何体所有顶点的距离相等，

2、先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径）解此类题的关键是：球心到多面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的基本依据要知道下列知识：（1）正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；（2）直棱柱的外接球的球心在高的中点；（3）对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点，在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上；（4）对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正（长）方体，三棱锥的外接球就是正（长）方体的外接球（2）内切球也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求

3、三角形内接圆的半径问题。1.球与柱体的组合体1.1球与正方体如图1所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形多面体与球的组合体7/7和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．2B．4C．8D．161.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在内切球（只有为正方体时才有）.设长方体的棱长为其体对角线为，则，外接球的半径1.3

4、球与正棱柱下面以正三棱柱为例。设正三棱柱的高为底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求.例直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．提示：正弦定理求底面三角形的外接圆半径2球与锥体的组合体2.1球与三棱锥（1）球与正四面体多面体与球的组合体7/7正四面体，即所有棱长均相等的三棱锥，它既存在外接球，也存在内切球，两心合一。棱长为a外接球的半径为，内切球的半径为，二者是3:1的关系，可以用体积来证明。2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例已知

5、正四棱锥的底边和侧棱长均为，则该正四棱锥的外接球的表面积为.36π例在正三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．　B.　C.4　D.变式1：已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.[[来源:学科网]（®变式2：（2008浙江）已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，

6、，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）变式3：正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？CBASO2.4球与其他棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥S-ABC，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥,满足取的中点为,由直角三角形的性质可得：所以点为三棱锥的外接球的球心,则.多面体与球的组合体7/7例矩形

7、中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()A.B.C.D.[来源:学科网]解：由题意分析可知，四面体的外接球的球心落在的中点，此时满足,.变式：1、三棱锥中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥内切球的半径为（）2．四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，则该球的表面积为A．14πB．15πC．16πD．18π3、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．3三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后

8、考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例9某几何体的三视图如图所示，则该几