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《问题7.1多面体与球的组合体问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题一：多面体与球的组合体问题纵观近儿年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上•要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学來看,这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学牛没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理•本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱
2、的棱产牛联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示,正方体ABCD_ABCQ，设正方体的棱长为q,E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截而图为正方形EFGH和其内切圆，则
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4、=r=*二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，&则
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6、=/?=—tz；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACA}C}和其外接圆，则AiO=R/=^±a.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题,常用工具是截2面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面
7、,通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.AR【例1】棱长为1的正方体ABCD—gCQ的8个顶点都在球O的表面上，E,F分别B.1D.a/2【分析】本题求解关键是得出直线EF被球0截得的线段为球的截血圆的直径【解析】由题意可知,球为止方体的外接球•平面*£>9截而所得圆而的半径AD}当,•・•EFu面幽£>£>],••・直线EF被球0截得的线段为球的截面圆的直径2R=迥.【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体ABCD-A]B]C]D],球o与该正方体的各个面
8、相切，则平面ACB】截此球所得的截面的面积为（）8n5n4n2nA.3B.3C.3d.31.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球•但是不一定存在内切球•设长方体的棱长为d,b,c,其体对角线为/.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径尺=上=如心丈22【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）10兀8兀7兀A.—B.4“C.—D.—【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球
9、移动的过程中，进过部分的几何体•因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球，故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球，三部分的体积为:4历131=]0——xTx-x2+^xTx2=—71.323【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为30,则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3球与直棱柱球与一般的直棱柱的组合体，常以外接形态居多•下血以正三棱柱为例「介绍本类题日的解法构造直角三角形法•设正三棱柱ABC-A^C,的高为人底面边长为d,如图2所示，D和口分别为上下底而的中心•根据几何体的特点，球心必落在高DQ的中点斗心借助直
10、角三角形阿的勾股定理，可求4少+（纺.【例3】已知直三棱柱ABC—A出G的6个顶点都在球0的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,M=12,则球0的半径为（）B.2倾C.yD.3倾【分析】先确定球心位置,再利用R2=r2+d2确定球的半径【解析】如图所示，由球心作平面的垂线，）51/5则垂足为牝的中点必又AM=-BC=^｝如=另例=6,所以球0的半径R=04=、-2+62=13T【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的屮点.【小试牛刀】直三棱柱ABC-A,BC的六个顶点都在球o的球面上，若AB=BC=,ZABC=20A
11、A.=2能，则球0的表面积为（）A.4龙B.8龙C.16龙D.24龙二、球与锥体的组合体规则的锥体,如正四血体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查儿何体的体积或者表而积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球,并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四而体的棱长的关系.如图4,设正四面体S-ABC的棱长为Q,内切球半径为r,外接球的半径为取4B的中点为D,E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高
12、.在截面三角形SQC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面.因为止四面体木身的对称性可知，外接球和内切球的球心
