高三理数第2讲：不等式2（教师版）

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1、第三讲亲普式2©大脑体操）作业完成情宛知识枝理）1.二元一次不等式表示平面区域一般的，二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域为平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C二0的某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，当我们在坐标系屮画不等式Ax+By+C20所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线。因为对在直线Ax+By+O0同一侧的所有点（x,y）,实数Ax+By+C的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（xo,yo）,由Axo+Byo+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平

2、面区域。当CH0时，常把原点作为此待殊点。2.线性规划的有关概念约束条件：由未知数x、y的不等式（或方程）组成的不等式组成为X、y的约束条件。线性约束条件：关于未知数x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组称为x、y的线性约束条件。目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。线性目标函数：目标函数为变量x、y的一次解析式。线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题。可行解：满足线性约束条件的解（x,y）o可行域：所有可行解组成的集合。最优解：使目标函数取得最值的可行解。1.基本不等式：->4^h2(1)基本不等式成立的条件：a>0

3、,b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a二b时取等号。2.常用的几个重耍不等式(l)『+b空2ab；(2)ah<(^^)2；(3)(竺与J+"；(4)-+->2(^gR+)222ab3.算术平均数与儿何平均数设a>0,b>0,则a、b的算术平方数为纣纟，3、b的儿何平均数为陌，基本不等2式可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4.利用基本不等式求最值问题己知x>0,y>0,则:(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x二y时，x+y有最小值2丿万；Q2(2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x二y时，xy有最大值——。4教学重•难点)特色讲

4、解)x+y-ll>0例1设不等式组<3x-y+3>()表示的平而区域为D,若指数函数y二/的图5兀一3)+950像上存在区域D上的点，则a的取值范围是A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]解析这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图彖，联系指数函数y二/的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2,9)时，a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点，选A。x-y-}-2>o,例2设变量八y满足约束条件x-5y+l()<(),,则目标函数沪3/—4y的最大值和兀+m最小值分别为A.3,-11B.-3,-11C.11,-3D.11,

5、3解析画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y平移到点(5,3)时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线z=3x-4y平移到点(3,5)时，目标函数z=3x-4y取得最小值T1,故选A。x+3y-3»0,例3若实数兀，y满足不等式组”兀-丁一350,且x+y的最大值为9,则实数加=x-my+X>0,A.-2B.-1C.1D.2解析将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想。3^-y-6<0例4设x,y满足约束条件Jx-y+2>0,若目标函数z

6、=ax+by(a>0,b>0)的x>0,y>023).D.4值是最大值为12,则-的最小值为(ab眉B仝C.L1633解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线dx+by二z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,W-+-=(-+-)2a+3b=-+(-+-)>—+2=—，故选A.abab66ab66250"27"(4)・=>£，亠1>0,・・・r+右冷[2Z+1—1』2x—]2例5求下列函数的最大(或最小)值.(1)y=

7、x+—!—(x>0)；(2)y=2x2+—(x>0)；(3)y=x(5-2x)2(0—)；(5)y=2xl100-x2(0

8、JX=0时取等号，・°・X二0时，ymin二1x+1(2)・・・x>0,v=2x2+-=2x2+—+—>332x2•—•—=-VlOO,当且仅x2x2xv2x2x2当2宀三即“晋时,ymin=

9、VIbo.(3)；•00,y—x(

10、5—2%)2=—•4x•(5—2x)•(5—2%)1