光泽第一中学高中数学教师论文剖析高中数学中的线性规划问题

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1、福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文剖析高中数学中的线性规划问题【摘要】线性规划问题是指：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。一直是浙江省高考数学中的热门考点，也可以说是必考点。通常以选择填空题的形式考查考生的相关知识，但2012年浙江省高考理科卷却在授后大题的最后一小题中采丿1]了线性规划求变式a+b的范围。可见高考在线性规划问题上对学生的要求己经上升到了对知识本质的真正理解与应用。木文将对浙江省高考中线性规划问题考察的特点及要求做出剖析，对线性规划问题的木质，能解决的具体问题，以及常见的考查题型做出总结，并R

2、对“线性规划问题”的推广也做了分类归纳。【关键词】线性规划，可行域，最优解，目标函数线性规划问题是指：在线性约束条件卜求线性目标*1数的最大值或最小值问题。近年來，高考在线性规划出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合。考察屮不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形集合思想，分类讨论思想，转化与化归思想，而且还能体现学生的综合分析问题能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力。木文针对浙江高考特点对线性规划问题作出解题策略。一、浙江高考题中的线性规划问题例如：2012年浙江省高考数学（文科）卷，第14题：（该题为木文的样题

3、）x-y+>0x+y-2<0x>0则z的取值范围是设z=x+2y,其中实数x,y满足1）亠°先简单介绍下相关概念：（1）函数z=x+2>，称为目标函数，山于目标函数是含x,y的一次解析式，在直角处标系xoy中表示直线，故称为线性兀—y+inox+y-2<00目标函数。（2）^V-°表示x,y满足的约束条件，由于约束条件屮的不等式也都是x,y的一次不等式,故也称为线性约束条件。（3）约束条件在直角处标系xoy中表示的平面区域称为可行域（如图（1）黄色区域）。（4）可行域中的任意点（x,y）称为可行解。可行解中能使目标函数z取得最大

4、或最小的解称为最优解，和应的z值称为最优值。H次谈谈解决线性规划问题的基木步骤:iffli：M出约束条件所表示的可行域。注意边界满足时価实线，边界不满足时把边界画成虚线。01图（I）移：通常画出z=0时目标函数所表示的直线，再画如z=l时冃标函数所表示的直线，从中领悟冃标函数在上卜•移动过程中Z的变'化情况，如图(2)可以发现？=兀+2y在总线越往上移动过程中，Z值越大；越往下移动过程中，7值越小。彳丄上］彳丄上、确定最优解：通过步骤②不难确定图⑵中(2'2丿和°(°，°)为最优解，且z在(2‘2丿处取得最大，在°(°°)处取得最小。求

5、最优值：计算最优解，联立边界方程，解出交点坐标，代入目标函数。由边界直线/丄,冷z=-兀-)+1=0与x+y-2=0求出点込迈丿，代入z=x+2y得张x匚同理由边界直线兀=0与y=0求出点0(0,0)，代入z=x+2y得z罰=。。所以z的取值范围是L'2」。再看09——11年的浙江高考数学卷中的题。rx+y>2,<2x一y<4,2009年(文理13)若实数兀』满足不等式组IX_y-0,则2兀+3歹的最小值是4.x+3y-3>0<2x-y-3<02010年(文7)若实数兀)‘满足不等式组〔兀一)'+1、°,贝F+)'的最大值为()157(

6、A)9(B)7(C)1(D)15%+2y-5>0<2^+y-7>02011年(3)若实数兀」满足不等式组，则3x+4y的最小值是()(A)13(B)15(C)20(D)28从以上历年文科试题中可以看岀，该类问题注重学牛的対解题步骤的强化。多画平面区域,领悟直线移动中z值的升降变化情况，正确求出边界交点，解决线性规划问题。在掌握解题步骤示，不难发现最优解必定在区域的边缘。这样只要将边界交点都求出来，并算出相应的目标函数值，其中较大的为最大值，较小的为最小值。如在样题中。3)7人(0,1),£迈丿,“2,0)代入目标函数得到值为：“-0,3

7、-2,分-严-2。从而知Sin—U,叫2,故刁的取值范围是L2」。再比如把样题中的目标函数变式为：z=“+y。同样b（L廿也把代入目标函数得到值为：°=0，s=l，s=2,“=2。因此有5广°,Sax=2,故z的取值范围是［°，2］。从图（3）屮也可以看出目标肓线在移动过程屮，在原点处取得最小，在线段BC上取得最大。故z的取值范围确实是［°2］。举此例，也想说明最优解并不一定是唯一的。还耍特别提醒的是不可肓口只求直线交点，然后代入目标两数计算比较。这样会照成一些非可行解也进入比较行列，如样题屮的点（°'2）。然而最优解出现在可行域的边缘

8、这个结论是正确的，关键是先画出可行域。由此可以看出作图的重要性。下血再來看近年的浙江理科试题。x+3y—3»0,<2x-y-3<0,(A)-2(B)-1(C)1(D)2与同年文科题相比，随稍有改动，倶捉高了