问题5.2数列中的最值问题（解析版）

《问题5.2数列中的最值问题（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2017届高三数学跨越一本线精品问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与S”有关的最值、求满足数列的特定条件的比最值、求满足条件的参数的最值、实际问题屮的最值及新定义题型屮的最值问题等.题型一：求数列的最大项或最小项

2、弘-1Wa”求数列中的最大项的基本方法是：(1)利用不等式组、(n$2)确定数列的最大项;(2)利用不等式组I3-nX弘+1(n>2)确泄数列的最小项.(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1]己知数列｛%｝的通项公式为a广。,求｛色｝的最大项・n+156■an>【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足彳”的比的值.

3、a»%【解法一】基本不等式法.际諾貳古，因为卄罟空卜半;当比仅当"孚即n=丽吋,n而，V144a,』【评注】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足彳”⑷的〃的值，从而—色-1找到最大项【小试牛刀】在数列｛aj中，&=(n+l)(韵(neN+).(1)求证：数列｛缶｝先递增，后递

4、减；(2)求数列｛弘｝的最大项.【解析】因生=伍4-l).^J是积幕形式的式子且比＞0,所以可用作商法比较比与—的大小.代芝T范整理得宁諾解得己・(n+1)⑴证明：令—>l(n>2)^卩z、㈣"(n+1)—,令生斗即M2k：—L(n+2)1聖n+严整理得孚遗解得8•■.IV・•・从第1项到第9项递増，从第10项起递减.(2)解：由(1)知09=810=]]9最大.【点评】要证明数列｛缶｝是单调的，可利用“｛缶｝是递增数列Oan＜an+1,数列｛%｝是递减数列0缶＞&+”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方

5、法.题型二：数列前n项和最值问题公差不为0的等差数列的前n项和的最值问题在高考屮常出现，题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n项和最值的方法有：⑴利用｛显中项的单调性,求出其正负转折项.⑵利用二次函数的性质求最值.公差不为0的等差数列的前n项和SrJ=An2+Bn(A,B为常数).(3)利用Sn^Sn-l,Sn^Sn+l求出S“的最值.【例2］在等差数列｛&｝中,at=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时S,•取最大值，则d的取值范围是・少+(7-瓠【分析】知m和S*最大，可以求出S“关于d的表达式是关于n的二次函数，再用二次函数的最值來解决；还可用&最大推出项的正负

6、和变化规律,并利用所有正数项和最大.【解析】(2)方法一(通法):由于S„=7n4设f(x)=少+(7—

7、jx,则其图象的对称轴为直线x=

8、-

9、当且仅当n=8时0取得最大值,177故7-5<2_d<8*5,解得―皿一帀7方法二（优法）:由题意，得/>0,a9<0,所以7+7d>0,且7+8d<0,即一1心〈一总【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列｛色｝的前刃项和为S”，且满足S]7>0,S18<0,则巳，巴%6?2£池中最大的项为（）45D.如Q

10、o【答案】C【解析】218(q+Gw)v°=»>0=>単血>0=>0

11、0〉0»9>0S[8vOn£18

12、(您+^9)V0=>@<0=>6Z10<0,因此着>0,着>0,煜>0鲁>0魯<0,而sm-p,心2>・・・>心9,所以」v题型三：求满足数列的特定条件的农最值【例3】[2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列｛陽｝是等差数列，若^<-1,且它的前n项和S”有最大值,那么当S〃取得最小正值时,n等于（）A.17B.16C.15D.14【分析】利用等差数列的性质求前〃项和的最值.【解析】・・•数列｛匕｝的前n项和有最大值，.••数列｛“”｝为递减数列，又毁v-1,>0,久）V0且兔+@v°，又S§=Em；%）=15爲>0,Sl6==8（+a9）<0,故当心15时，S“取得最小正

13、值，故选C.【小试牛刀】【四川省2017年普通髙考适应性测试】设数列仏”｝各项为正数，且4坷，an+l=^+2a/l(neN^).（I）证明：数列｛10g3（l+6/j｝为等比数列；（II）令化二log3（1+°2“_J，数列｛仇｝的前n项和为Tn,求使Tn>345成立时的最小值.【答案】（I）详见解析（II）6【解析】（I）由已知,02=才+2坷=4坷，则吗（坷-2）=0,因为数列｛〜｝各项为正数，所以4=2,由已知，%+1=（色+1）2>0,得Iog3