高二学案(学生版)-

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1、不等式不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性:ci>bobc=a>c②、a>b,cwR,a+c>b+c③、a>b,c〉0,那么ac>bc；a>b,cv0,那么acb>0,c〉d>0那么，ac>bd⑤、a>b>0,那么an>bn・（条件nwN,心2）⑥、a>b>0那么（条件）2、基木不等式定理1如果a,bGR,那么aJ+bJ^2ab.当冃仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a,b>0,那么2当且仅当沪b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

2、结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p,那么当x二y时，和咖有最小值2；（2）如果和x+y是定值s,那么直•欣二y时，积xy有最大值4小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值吋，一定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-儿何平均不等式定理3如果a,b,cg那么a+b+C>^,当且仅3当a=b=c时,等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数引，色，…，色,它们的算术平均不小于它们的几何平均，BP：心+…一师二石，n

3、当且仅当%=勺=・・・=陽吋，等号成立。二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值

4、a

5、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：任意两个实数a,b在数轴上的对应点分別为A、B,那么

6、a-b

7、的儿何意义是A>B两点间的距离。定理1如果a,b是实数，则

8、a+b

9、^

10、a

11、+

12、b

13、,当且仅当曲30时，等号成立。(绝对值三角不等式)如果a,b是实数,那么

14、a卜

15、b

16、W

17、a土b

18、W

19、a

20、+

21、b

22、定理2如果3,b,C是实数，那么a-c

23、

24、a-b

25、+1b-c

26、,当且仅当(a-b)(b-c)M0时,等号成立。2、绝对值不

27、等式的解法(1)

28、ax+b

29、Wc和

30、ax+b

31、2c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令tpx+b,转化为

32、t

33、Wc和

34、t

35、2c型不等式，然后再求x,得原不等式的解集。②分段讨论法：[ax+b>0p[ax+b<0ax+bl0)<=><或｛[ax+b{),或ax+b>cax+b>c(c>0)<=>ax+b<0-(ax+/?)>

36、x-6t

37、+

38、x-/?

39、>c和卜-a+x-b

40、刊》27例2解不等式x+3-x_3

41、>3。例3解不等式

42、x2-3

43、x

44、-3

45、<1o例4求使不等式

46、x-4

47、+

48、x-3

49、b.②a-6<0<=>aa=b一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零

50、，小于零.如果弄的符号无法确定，应根据题目的耍求分类讨论.第四步：得出结论。注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。1、用作差比较法证明下列不等式：（］）a14-Aa^.ab-^he-hoc.（2）（a,b均为止数，且aHb）思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作并后•因式分解的前途不大光明，但注意到如『，b2,ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）屮作差后重新分组进行因式分解。证明：（1）+戸+*）-（<1£>+辰+^）=扌血-研-T1十@-夕1乂当且仅当a=b=c时等号成立，/+沪+0工必4屁

51、2(当口仅当a=b二c取等号)(Q+A5)-G®%4-0,b>0,a^b,・・・a+b>0,(a-b)2>0,・3+巧-小+肿)>0••,・d1+A1>^b+tfAa••总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。课堂练习：【变式1】证明下列不等式:(1)a2+b2+2^2(a+b)(2)a2+b2+c2+3^2(a+b+c)(3)a2+b2^ab+a+b~l【变式2】已知a,bW疋，x,y£

52、,且a+b=l,求证：ax2+by2^(ax+by)22、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商一变形（约分、化简）一判断商与1的大小T得结论（确定被除式与除式的大小）.理论依据：->!<=>-一=步步步一步步■*一二三四®-m-第第第若存aO、*>0,贝ij冇①E«>*；②Da<*;@