《213导数的应用(Ⅱ)》学案

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1、导数的应用（II）适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点用导数处理恒成立问题利用导数解决生活中的优化问题学习目标1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题.2.会利用导数解决某些简单的实际问题.学习重点用导数处理恒成立问题学习难点用导数处理恒成立问题学习过程一、课堂导入我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）Z间冇一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数.根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗

2、量越犬？②“汽汕的使用率最高,，的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入木节课二、复习预习1.函数的单调性与导数的关系2.函数的极值与导数的关系3.函数的最值与导数的关系4.函数的极值和函数的最值的联系和区别三、知识讲解考点1生活中的优化问题牛活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题.考点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤优化问题渎题、宙题找出已知、未知建立数学模型写出函数解析式题案还问答题以决问得解利川导数求解得到显优解答案比较极值点得到函数极值点，最值点

3、考点3求实际问题中的最值问题有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大（小）值点.四、例题精析【例题1】【题干】设函数/(x)=Inx—^ax2—bx.⑴当a=b=*时，求/(X)的最大值；(2)令尸⑴二兀力+如”+加+蓟勺总)，其图象上任意一点戶血，必)处切线的斜率夙+恒成立，求实数Q的取值范ffl;(3)当q=0,—1时，方程2mf(x)=x2有唯一实数解，求正数加的值.【解析】⑴依题意，

4、知/（X）的定义域为（0,+8）,11?1当a=b=㊁时»y（x）=Inx-才x-尹f⑴=x-2x'2=_(兀+2)(x_])2x令（x）=0,解得x=（x=-2舍去）.当00,此时.心）单调递增；当Q1时，f（x）<0,此时./（兀）单调递减.3所以/（x）的极大值为/（!）=--3又因为（兀）=0在（0,+T上有唯一解，所以沧）的最大值为-孑⑵由题意得F(x)=Inx+xC(0,3]>则Xk=F'(xo)="2"W在xo€(0,3]上恒成立,Xo厶当Xo=1时,所以埒Xo€(0,3]・-

5、+Xo取得最大值*,所以a上*.(3)因为方程2m/(x)=?有唯一实数解，所以x-2/wlnX-2mx=0有唯一实数解.设g(x)=x-2/??lnx一2mx,门..2x2-2mx-2m则丈«=•令⑴=°，即兀2-mx-m=0.E~m-A/m2+4m人〔m+A//??2+4m因为加>0,x>0,所以xi=2<0(舍去)，X2=2当xC(0,兀2)时'g‘(兀)<0,g(x)在(0,兀2)上单调递减;当兀€(兀2，+8)时,gf(兀)>0,g(x)在(兀2‘+8)上单调递增；当x=X2时，gf(x2)=0,g(

6、x)取最小值g(X2)・-、fg(%2)=0>M-2mX2~2mx2=0,因为2mf{x)=x2有唯一实数解，则］即］2所以2加InX2+处2-加=0.又因为m>0,lg(兀2)=0,1也-加2-〃7=0,所以21n%2+兀2一1=0.(*)设函数h(x)=21nx+x-1,当兀>0时，力⑴是增函数，所以方(兀)=0至多有一解.m+、/加2+4加1因为h{)=0,所以方程(*)的解为兀2=1‘即2=1，解得m=2*【例题2】【题干】已知,/(x)=(?-a)ex,qUR.(1)若a=3,求.心)的单调区间

7、和极值；(2)(2知兀1，兀2是人兀)的两个不同的极值点，^Lxi+x2^xiX2f求实数。的取值集合M；(3)在⑵的条件下，若不等式3f(a)0;x€(-3,l)时，f(x)<0,的单调递增区间为(-°°,-3),(1,+°°)；单调递减区间为(-3,1).•••.心)的极大值为./(

8、-3)=6e-3;极小值为/(1)=-2e.(2)令厂(x)=(x2+2x_6r)ev=0,即x2+2x~a=0,由题意其两根为X],X2>•'•X+X2=-2,兀]X2=_G,故-2WqW2.又/=4+4a>0,-l3f(a)-a3-+3d对a€M都成立，记g(Q)=3心)--討+3q(-1