第20讲-函数恒成立问题-提高资料

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1、函数恒成立问题恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立.类型2：设（1）当时，上恒成立或或上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立或或类型3：.类型4：典例精讲5/5例1（★★★）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．解：首先讨论时，此时或.（1）当时，原不等式变为，解得不等式为，与对一切实数恒成立矛盾.所以不合题意.当时，原不等式变为，对一切实数恒成立,所以符合题意.（2），不等式是二次不等式，要使得不等式对一切实数恒成立，需要，满足，解得.综上所述，实数的取值范围为.【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当

2、时，对一切实数恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当时，对一切实数恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】巩固练习1.（★★★）若不等式的解集是，求的范围.解：（1）当时，原不等式化为恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，.【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0.题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以为0.】2.（★★★）已知函数，若时，恒成立，求的取值范围.解：，令在上的最小值为.（1）

3、当，即时，又不存在.5/5（2）当，即时，又（3）当，即时，又综上所述，.【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】例2（★★★★）设中，如果时，恒有意义，求的取值范围.解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立.令，又则对恒成立，又在上为减函数，【如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解】巩固练习1.(★★★★）已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：原不等式当时，不等式恒成立即设.5/5【不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离

4、构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围】例3（★★★★）已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围.【分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可】解：（1）任取且，则又是奇函数在上单调递增。（2）解：对所有，恒成立，即，即在上恒成立5/5.【对恒成立问题，当字母比较多时，可以考虑换位思考，转化成另一个字母的函数，特别是已知参数范围求自变量范围，会有助于解这类问题.】巩固练习(★★★★）对于满足的所有实数,

5、求使不等式恒成立的的取值范围.【分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于的一次函数大于0恒成立的问题】解：原不等式转化为,设,则在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴或.回顾总结（1）函数恒成立问题的理解：_________（2）函数恒成立问题常见的几种解法：_____________(3)转换主元法的使用类型：_____________________________________5/5