函数恒成立问题提高.docx

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1、精品文档函数恒成立问题恒成立问题的基本类型：类型1：设f(x)ax2bxc(a0)，（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0.类型2：设f(x)ax2bxc(a0)bb（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立2a或2af()00b或2af()0f(x)0在x[,]上恒成立f()0f()0（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立f()0f()0bf(x)0在x[,]上恒成立2a或f()0bb2a或2a0f()0类型3：f(x)对一切xI恒成立f(x)minf(x)

2、对一切xI恒成立f(x)max.类型4：f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)ming(x)max(xI)典例精讲。1欢迎下载精品文档例1（★★★）已知关于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．24m50时，此时m5或m1.解：首先讨论m（1）当m5时，原不等式变为24x30，解得不等式为x1，x8与对一切实数恒成立矛盾.所以不合题意.当m1时，原不等式变为30，对一切实数x恒成立,所以符合题意.（2）m24m50，不等式

3、是二次不等式，要使得不等式对一切实数x恒成立，m24m50，解得1m19.需要，满足16(m1)212(m24m5)0综上所述，实数m的取值范围为1m19.【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当m1时，对一切实数x恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当m1时，对一切实数x恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】巩固练习1.（★★★）若不等式(m1)x2(m1

4、)x20的解集是R，求m的范围.解：（1）当m10时，原不等式化为20恒成立，满足题意；（2）m10m10时，只需1)28(m1)，(m0所以，m[1,9).【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0.题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以为0.】2.（★★★）已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.a2解：f(x)a23，令f(x)在2,2上的最小值为g(a).xa24（1）当a2，即a4时，g

5、(a)f(2)73a0a7又Qa423a不存在.。2欢迎下载精品文档（2）当2a2，即4a4时，g(a)f(a)a2a302246a2又Q4a44a2（3）当a2，即a4时，g(a)f(2)7a02a7又Qa47a4综上所述，7a2.【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】例2（★★★★）设f(x)12xa4x,中aR，如果x(.1)时，f(x)恒有意lg3义，求a的取值范围.解：如果x(.1)时，f(x)恒有意义12xa4x0，对x(,1)恒成立.a12x(2x2

6、2x)x(.1)恒成立.4x令t2x，g(t)(tt2)又x(,1)则t2x(1,)2ag(t)对t2x(1,)恒成立，2又g(t)在t2x(1,)上为减函数，2g(t)maxg(13a3)442【如果x(.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为12xa4x0恒成立，即参数分离后a12x(2x22x)，x(.1)恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解】4x巩固练习1.(★★★★）已知当xR时，不等式acos2x54sinx恒成立，求实数a的取值范围.解：原不等式a54sinxcos2x当xR时，不等式a5

7、4sinxcos2x恒成立即a(54sinxcos2x)min设f(x)54sinxcos2x54sinx12sin2x2(sin2x2sinx2)2(sinx1)21sinx[1,1]a2.。3欢迎下载精品文档【不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围】例3（★★★★）已知函数f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，且f(1)1，若a,b[1,1]，f(a)f(b)，ab0，有0ab（1）证明f(x)在[1

8、,1]上的单调性；（2）若f(x)m22am1对所有a[1,1]恒成立，求m的取值范围.【分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m的范围，所以根据上式将m当作变量，a作为常量，而x则根据函数的单调性求出f(x)的最大值即可】解：（1）任取x1,x21,1且x1x2，则x21,1f(x1)f(x2)x1x20x1x2f(x1)f(x2)0又Qf(x)是奇函数x1x2f(x1)