《重积分应用》PPT课件

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1、一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心与形心四、物体的转动惯量五、物体间的引力§10.4重积分的应用第十章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性二重积分应用：计算一小片dσ上部分量的近似值用微元法(或元素法)建立被积表达式分布在有界闭域(平面或空间)上的整体量2.用重积分解决问题的方法三重积分应用：计算一小块dv上部分量的近似值以后学到的线积分、面积分应用也是这个思想(微元法)微元一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为例1.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:建坐标

2、系如图:则立体体积为二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(面积微元或面积元素)则例3.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为曲面在xoy面上投影为由对称性,所求面积为上半球面面积的二倍(为瑕积分)a为瑕点三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有平面域D,并有连续密度函数则分别位于为为其质心公式.推导如下:将D分割,对于y轴的静力矩Dxy设物体的质心为则同理当μ为常数时,得形心坐标：(其中A为D的面积)若物体为占有空间区域Ω,则它的质心坐

3、标为其密度为则得形心坐标：例4.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片总之,薄片的质心(形心)坐标为:四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元dv因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例5.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,的转动惯量.解:取球心为原点,z轴为l轴,则例6

4、.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)G为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例7.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的质量为m质点的引力.。作业习题10-27，10,17习题10-41，3，6,11,13,14