2017学年八年级数学下册1.3直角三角形全等的判定直角三角形全等及其应用素材（新版）湘教版

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1、直角三角形全等及其应用一、判定两个直角三角形全等的方法一般三角形全等的判定公理及推论适用于直角三角形，HL是直角三角形全等的一个特殊的判定公理.例1.如图，A、B、E、F四点共线，，求证：.证明：在与中即在和中二、证明线段相等或角相等利用三角形全等是证明线段相等或角相等的方法之一.例2.求证：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角.已知：如图，在中，于D，求证：，.分析：在与中因此则三、用全等证平行　　例3.已知如图，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，求证：AD∥BC.　　　【思考与分析】欲证AD∥BC，由平行线的判定定理只需证明∠1＝∠2，由已知条件易证R

2、t△ABC≌Rt△CDA，结论成立.　　证明：∵AB⊥AC，AC⊥CD，　　所以∠BAC=∠DCA=90°.　　在Rt△BAC和Rt△DCA中　　AD=BC，AC=AC，　　所以Rt△BAC≌Rt△DCA（HL）.　　所以∠1＝∠2.　　所以AD∥BC.　　【小结】应用“HL”证明两直角三角形全等时，首先要说明两个三角形是直角三角形.　　四、证线段互相垂直　　例4.已知如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BF和AC垂直吗？说明理由　　　【思考与分析】　欲知BF与AC是否垂直，可验证∠FBC＋∠C=90°是否

3、正确，由已知得∠FBC＋∠BED=90°，只要能证明∠C=∠BED就行了，故需要证明△ADC≌△BDE.　　解：　BF⊥AC.理由如下：　　因为AD是△ABC的高，　　所以∠ADB=∠ADC=90°.　　在Rt△ADC和Rt△BDE中　　AC=BE，DC=DE，　　所以Rt△ADC≌Rt△BDE（HL）.　　所以∠C=∠BED.　　在Rt△BDE中　　因为∠EBD＋∠BED=90°，　　所以∠EBD＋∠C=90°.　　因为在△BFC中∠EBD＋∠C＋∠BFC=180°，所以∠BFC=180°-90°=90°.　　即BF⊥AC.　　【小结】证明两线段垂直的问题，需

4、要证明两线段的夹角是直角，此时往往证该夹角所在的三角形的另两个角互余.　　五、证角平分线　　例5.如图，已知：AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O，求证：AO平分∠BAC.　　　　【思考与分析】要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠CAO，需证△ADO与△AEO全等，已有一对直角和公共边OA，不可能找到角相等作为条件，于是要证AD=AE，需先证△AEB≌△ADC，可用“AAS”作为条件推理.　　证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC，　　所以∠AEB=∠ADC=90°.　　在△AEB和△ADC中　　∠AEB=∠ADC，∠BAE=∠CAD，

5、AB=AC，所以△AEB≌△ADC（AAS）.　　所以AE=AD.　　在Rt△AEO和Rt△ADO中　　AO=AO，AE=AD，　　所以Rt△AEO≌Rt△ADO（HL）.　　所以∠DAO=∠EAO.　　即AO平分∠BAC.　　【小结】由于直角三角形有一特殊条件直角，遇到以下情况要注意：（1）有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等的（如题中的第一次全等）；（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.所以在遇到直角三角形的全等问题时，同学们不要忘用隐含的条件——直角相等.