波函数与Schrdinger方程

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1、第二章波函数与Schrödinger方程§2.1波函数的统计解释1、对波粒二象性的理解对于能量为E动量为P的状态，说限于某点的波没有意义，不能按经典的概念去理解微观粒子的波粒二象性。那么，如何理解波粒二象性呢？粒子----定域性波动----广延性1电子的衍射图样2①不能认为一个粒子就是经典概念下的波历史上曾经把粒子用波包来等价，比如一自由粒子的平面波包（由一定范围动量，即不同的构成，因为）。以波包中心表示粒子的位置，波包的大小表示粒子的大小。群速度表示粒子的速度。则3即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒子变胖。但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域中，其广延不超过原子大小~

2、1Å故不能把电子看成三维空间的物质波包。衍射实验也说明单粒子打到靶上就是一点。4结论：微观粒子既是粒子又是波。也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性分布的概念，但具有波动的相干叠加性。两者统一于Bohn的几率波概念中。②不能认为波是由一群粒子组成。否则必然导致波动是由粒子间的相互作用产生的但它不是经典粒子：不能用()确定粒子状态，没有轨道概念；52、几率波多粒子系的波函数(1)几率波分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发射电子流强度无关。且多个电子一次行为与一个电子的多次行为结果相同。①多个电子的一次行为干涉图样明条纹暗条纹“粒子”观点到达电子多少“波动”观点波强度大小6结论：

3、到达屏某处电子数正比于波强度。若总发射电子数为M，到达某处的电子数为N，则到达某处的电子几率为N/M②单个电子的多次行为结论：这种波是一种几率波“波动”观点波强度大小“粒子”观点发现电子几率大小干涉图样明条纹暗条纹7一般情况下称为几率振幅，它描述微观粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态（）的描述。由此得到微观粒子的状态用波函数完全描述。波函数的统计解释：若衍射振幅用表示，与在光学中类似，波的强度可用表示。量子力学的基本原理之一：波动性正反映了这种统计规律性，因此称为几率波。8几个希腊字母的读法：9不过它所描写的是大量粒子的统计行为。对于单个粒子只能给出几率性的答复。ΨrdVxy

4、z而t时刻在端点附近dV内发现粒子的概率为:t时刻，在端点处单位体积中发现一个粒子的几率。几率密度用表示，其物理涵义是(见下图）：10这就是波函数的统计解释。显然几率是归一的，即与经典波不同，对空间中的各点，描述同一个状态,考虑的几率是相对几率。比如对空间中任意两点的相对几率为▲几率的相对性11经典波相差c，强度相差

5、c

6、2。经典波根本谈不上归一化。即使归一化，波函数仍具有的相位不稳定性，因为显然若还是原来的波函数吗？12（2）多粒子系的波函数在t时刻，多粒子系的波函数可以表示为而13一般定义内积﹟143、动量的几率分布粒子在给定时刻测得在处的几率如测量其它力学量，几率分布如何？

7、以经典力学中状态变量的分布为例：但一般情况下，含有各种波长的分波，为一波包。因而相应动量有一分布。由前述，若体系的状态用来描述，则实际上是位置的几率分布。15可以设想同样给出的几率分布。那么与有何联系？答案：是的平面波展开，即Fourier变换:其逆变换为：代表中含有平面波的成分16GθθK狭缝电流计镍集电器U电子射线单晶设电子垂直入射到单晶表面，入射波是一具有一定波长的平面波。衍射沿一定角出射，且满足Bragg公式：以电子的晶体衍射为例。17若入射波为一波包，则每一Fourier分波将按一定角度出射，得到一波谱。在足够远处，将在空间分开。在衍射过程中，未变，因此衍射波谱反映了衍

8、射前粒子动量的几率分布。对于一个粒子，在方向被测到的几率设沿出射的波幅为因为沿方向衍射波强度18容易验证：即也满足归一化条件。即粒子动量在范围内的几率为19在前面的推导中，我们利用了δ函数的性质同理这样同理可推知三维坐标矢量的δ函数的形式204、测不准关系WernerKarlHeisenberg德国人（1901-1976）创立量子力学，获得1932年诺贝尔物理学奖Heisenberg将其形象地概括为测不准关系。那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。21测不准关系的严格证明在第四章给出。这里从简单

9、的例子出发引出测不准关系。一维自由粒子具有确定的动量p0自由粒子动量的不确定度Δp=0则例1而位置完全不确定，可取任何值，相应的波函数是平面波即在任何位置上动量都有确定值22则例2一维粒子位于x0处，即Δx=0。相应波函数其Fourier展开为表明在位置x0处动量取各值的几率相等故将波函数代入即得如何得来？23即粒子主要局限于,即考虑Gauss波包描述的粒子有例3见右图：24的Fourier变换为25这就是测不准关系，即粒子的坐标(位置)和动量不能同时有确定值。它是粒子的波粒二象