第五章-波函数与薛定谔方程

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1、第五章波函数与薛定谔方程§5-1波函数的统计诠释一概率波（1）电子双缝衍射和概率波(a)(b)图5-1光(a)和电子(b)的双缝衍射图样711●入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5-1(b)所给出的衍射图样。●单个电子就具有波动性：711即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。●实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or是一个在许多次相同实验中的

2、统计结果。●实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。●在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。711●在经典物理学中并不存在与波函数对应的物理量。在经典概念下，当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。(2)波函数的概率

3、诠释设衍射波幅用描述，则衍射图样的强度分布用的模方描述(5.7111)其中：y*(r)是y(r)的复共轭。衍射波强度

4、y(r)

5、2是刻画电子出现在r点附近的概率大小的一个量，即(5.2)表示在r点处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的概率诠释量子力学的基本原理之一。结论：波函数y(r)：是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。ρ(r)=

6、y(r)

7、2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元711中找到粒子的概率。二波函数的性质在一般情况下，y作为可以接受的波函数，从物理上往往要求y是有限、连续和单值的。(1)统计诠释对波

8、函数提出的要求●在空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值。一般情况下，这意味着要求取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处®¥.例如，即使是的孤立奇点，V0711是包围r0点在内的任何有限体积，则按统计诠释，只要有限值(5.3)就是物理上可接受的，其中.如取r0=0，V0是半径为r的小球，则式(5.3)相当于要求：当r®0时，.(5.4)如果在r®0时,波函数具有的形式，则要求.●波函数的归一化条件波函数y711描述的粒子在空间各点的概率的总和为1,(5.5)这时的波函数为归一化的波函数。如果某波函数尚未归一化,则有,(5.6)式中的称为波函数的归一化

9、因子。归一化的波函数对应的概率密度是相对概率而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数。●波函数有一个常数因子的不确定性。711重要的是相对概率分布。如果C是常数(可以是复数)，则y(r)和Cy(r)所描述的相对概率分布是完全相同的。因为在空间任意两点r1和r2处，总有.(5.7)这就是说，Cy(r)与y(r)所描写的是同一个概率波。在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。●波函数相位的不确定

10、性711如果y(r)是归一化的波函数，y(r)＝y(r)（对于任意的实常数a）●单值保证概率密度在任意时刻t都是确定的。(2)势场性质和边条件对波函数提出的要求具体的物理情况,对波函数y提出要求：y是连续的。例1、波函数及其各阶导数的连续性问题在势场中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为711.(一维)在一维情况下，当势函数是x的连续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数是存在的，这就要求波函数及其一阶导数是x的连续函数。即使是在有限的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数及其一阶导数仍是x的连续函数。应该从薛定谔方程出发，根据势场的性质来决定波函数及

11、其各阶导数的连续性问题。例2、波函数的束缚态边条件711在金属和原子中的电子等许多实际情况下，粒子的运动被限制在一定的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。对于束缚态就要求波函数y(r)在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件。总之，从物理上讲，态函数y(r)应当是位置r的连续函数，否则就会在不连续点上发生解释上的不确定性。(3)初值条件和边界条件从物理上看，仅有运动方程还不足以确定物体的运动：运动方程＋起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一个微分方程有无穷多个解，表现在其通解中含有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界情况等则是确定

12、这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解+初值条件+边界条件