微分中值定里的应用与推广

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1、摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言11微分屮值定理的应用11.1判定级数的敛散性11.2证明存在性问题21.3证明不等式41.4微分屮值定理求极限41.5判断函数单调性51.6证明函数恒为常数52微分屮值定理的推广62.1罗尔屮值定理的推广62.2拉格朗□中值定理的推广72.3柯西屮值定理的推广8致谢9参考文献9微分中值定理的应用和推广数学与应用数学专业学生韩伟指导教师栾世霞摘要：本文介绍了使用微分中值定理的一些常见方法•并且，将微分中值定理的可导条件改为单侧可导,从而推广了微分中值定理.关键词：可导连续中值定理应用推广Theapplicationandgeneral

2、izationofdifferentialmediantheoremStudentmajoringinmathematicsandappliedmathematicsWeiHanTutorShixiaLuanAbstract:Thepaperintroducessomecommonmethodsofusingdifferentialmediantheorem.Besides,ittriestochangetheguidingconditionsofdifferentialmediantheoremintoone-sidedguidance・Bydoingthis,itextendsthe

3、differentialmediantheorem・Keywords:derivable;continuity;mediantheorem;application;generalization.引言:微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理则是微分学的核心.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理,它们是微分学中最基本、最重要的定理，是沟通函数与其导数Z间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数的整体性的重要数学工具•本文归纳了微分中值定理的一些应用，同时给出了几种特殊的推广形式.1微分中值定理的应用1.1判定级数的敛散性定理1已知/（兀）为定义在［l,+oo）上的减

4、函数，F（x）为定义在［l,+oo）±的连续函数，且Fz（x）=/（x）＞0,XE（1,+°°）（1）当极限limF（n）存在时，正项级数£/（町收敛，设其和为G,则”T8n=］HT8'7'/'''，''（2）当极限limF（n）=oo时，正项级数V/（n）发散.NT8n=l证明：下面只证定理的前半部分因为函数F（兀）在区间［以+1］上满足中值定理的条件（其中H）,所以在（以+1）内至少存在&使得F(k+1)-F(k)=/(§)成立，又/(x)为减函数，故有/(k+l)vF(k+l)-F(m，"1,2,3,…，爪将上述/个不等式相加得/(2)+/(3)+…+/S+l)vFS+l)-F(l

5、)v/(l)+/(2)+…+/(»令S〃=.f(l)+.f(2)+・..+/S),则Sw-/(l)+/(n+l)

6、兀)=兀(2-兀)厂,8H2故当22时，.厂(无)50,此时.f(x)为减函数，乂迎F(t7)=0,由定理1知级数工莎收敛00?)=18rrlimF(/2)-F(2)<^—

7、按顺序可分成斤-1个区间，并在每个区间上应用罗尔定理即可得到结论.定理2若实函数丿=/（兀）在开区间⑺上）内有加阶导数，且/（西）=/（兀2）=…二・广（£），其中Xj=X2=•••=%„是（a,b）内的几个互不相同的实数,则方程严）（兀）=0在仏/?）内至少有n-m个不同的实数根.证明：由引理知道方程f（x）=O在仏b）内至少有”-1个根,不妨设这舁-1个根为肚,••总•则m）=/u）=-=m-!）=o-由引理可得方程r（x）=O